专题24.3 垂直于弦的直径（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.3 垂直于弦的直径（知识讲解）
【学习目标】
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　
特别说明：
　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
　　
　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
特别说明：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

【典型例题】
类型一、利用垂径定理求值
1．如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．

（1）若，求的度数．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）；（2）8
【分析】
（1）根据垂径定理可得，然后根据等弧所对的圆心角相等即可得出结论；
（2）设半径是，根据垂径定理即可求出AE，根据勾股定理列出方程即可求出r，从而求出结论．
解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）设半径是，则，
∴，
在直角中，，
则，
解得，
则．
【点拨】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握结合垂径定理和勾股定理求解是解题关键．

举一反三：
【变式1】 如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝6，CD＝1．求⊙O半径的长．

【答案】r=5
【分析】垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，据此解得AD的长，再设半径为r，由勾股定理解题即可．
解：半径OC⊥弦AB，

由垂径定理得，
，
设，则
在中，由勾股定理得，
，即，
解得：．
【点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长．

【答案】r＝5
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值．
解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，
∴AC＝AB=＝4，
设⊙O的半径OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在Rt△OAC中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5，
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
【变式3】 如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）3；
【分析】
（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论；
解：（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE与△ADE中，
，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD=AN；
（2）∵AE=2，AE⊥CD，
又∵ON=1，
∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，
r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO，则AO=OD=2x-1，

∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2）2+（x-1）2=（2x-1）2，
解得x=2，
∴r=2x-1=3.
【点拨】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
类型二、利用垂径定理求平行弦
2．如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．

【答案】8
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到
根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出
进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，

则
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，
∴ON=MN﹣OM=3，
在Rt△CON中，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=8．
【点拨】考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
举一反三：
【变式1】 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12.
求线段EF的长.

【答案】4
【分析】作OM⊥BC于M，连接OE，根据垂径定理求出EF=2EM，求出OE和OM长，根据勾股定理求出EM，即可求出EF．
解：作OM⊥BC于M，连接OE，

则ME=MF=EF，
∵AD=12，
∴OE=6，
在矩形ABCD中，OM⊥BC，
∴OM=AB=4，
∵在△OEM中，∠OME=90°，
ME===2 ，
∴线段EF的长度为4．
【点拨】考查了勾股定理、垂径定理、矩形的性质等知识点，解题关键是构造直角三角形.
【变式2】如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.

【答案】(1)8 (2)
【分析】
(1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可;
(2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长；
解：解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;

(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，

而,
,
又 在和中，
,
,
,
,
,
,

,

为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.

【点拨】本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值.
【变式3】 ⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB和CD之间的距离．
【答案】2cm或14cm
【解析】分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
试题解析：①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1所示,
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF−OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2所示,
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm；
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.

类型三、利用垂径定理求小圆问题
3．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD．

【答案】证明见解析.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD．
解：过O作OE⊥AB于点E，

则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．
举一反三：
【变式1】 正方形网格在如图所示的平面直角坐标系中，现有过格点A，B，C的一段圆弧．请在图中标出该圆弧所在圆的圆心D，并写出圆心D的坐标．

【答案】作图见解析；D(2，0)
【解析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴与D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标.
试题解析：如图所示：D（2，0）


【变式2】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC=BD．

【答案】证明见解析.
【分析】方法1:过点O作于M，由垂径定理即可证明；方法2:连接,，，，由等腰三角形的性质证明,即可证得．
解：如下图，过点O作于M，

由垂径定理可得．
∴,
即；
方法2:如下图，连接,，，

则有
∴,，
∴
∴．
【变式3】 如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．

（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质，垂径定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出结论.
（2）根据题意，过点O作OE⊥AB，根据垂径定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的长，即可求出AC的长度．
解：（1）证明：如图，过点作于点．
，
，．
，
即．
（2）解：，，
，
，
，
，



【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
类型四、利用垂径定理求其他问题
4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．

（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】
（1）根据垂径的求得AE=4，设半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理得到关于r的方程，解方程即可求得半径；
（2）根据勾股定理求得BC，进而根据勾股定理求得BE．
解：（1）于点且
，
设半径为，则
在中有

解得：
即半圆的半径为5
（2）为半圆的直径

则
在中有

【点拨】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，应用垂径定理是关键．
举一反三：
【变式1】 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF.

求证：AE=BF.
【答案】见试题解析
【分析】利用垂径定理得，再由等腰三角形“三线合一”的性质得．还可以连接，证明得
证明：过点作于点
则
又∵
∴
∴

【变式2】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点与相等吗？为什么？

【答案】相等，理由见解析.
【分析】
过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
解：证明：作OE⊥AB，
根据垂径定理得AE=BE，CE=DE，
故BE-DE=AE-CE，
即AC=BD.

【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线是解决本题的关键.
【变式3】 如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．

【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【分析】
(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.
解：(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵AB=8，
∴DE=4；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，

∵OH经过圆心O，
∴AH=BH=AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
类型五、垂径定理的推论
5．已知：如图，在中，CD是直径，AB是弦，，垂足为E.求证：，，.

【答案】详见解析
【分析】连接OA，OB，则.然后根据轴对称的性质解答即可.
证明：如图，连接OA，OB，则.

又，
直线CD是等腰的对称轴，又是的对称轴.
沿着直径CD所在直线折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，和，和分别重合.
，，
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
举一反三：
【变式1】 如图，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：；
（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为
【分析】
(1) 连接OB，根据题意求证OB⊥AD，利用垂径定理求证；
(2) 根据垂径定理和勾股定理求解.
解：（1）

连接OB,交AD于点E.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD// BC
∴∠OED＝∠OBC =90°
∴ OE⊥AD
又 ∵ OE过圆心O
∴
（2）∵ OE⊥AD ,OE过圆心O
∴ AE=AD=4
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
BE＝＝3，
设⊙O的半径为r，则OE=r－3
在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，
OE2+AE2 = OA2
即(r－3)2+42= r2 ∴r=
∴⊙O的半径为
【点拨】掌握垂径定理和勾股定理是本题的解题关键.
【变式2】如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．

【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析: 根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE=OF．
试题解析:
证明：连结OA、OC，如图，

∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
类型六、利用垂径定理的实际应用
6．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？

【答案】5cm
【分析】先根据垂径定理求出AD的长，设OA=rcm，则OD=（r-2）cm，再根据勾股定理求出r的值即可．
解：作OD⊥AB于D，如图所示：

∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，
∴AD=AB=4cm．
设OA=rcm，则OD=（r-2）cm
在Rt△OAD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r-2）2+42，
解得r=5cm；
即铅球的半径OA的长为5cm．
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】 一座跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为 16 米，拱高（CN）为 4 米，若大雨过后，桥下河面宽度（DE）为 12 米，求水面涨高了多少米？

【答案】水面涨高了2米
【分析】
由垂径定理可求得AN的长度，ON=OC-CN，AO=CO，在Rt△AON中，利用勾股定理求得桥拱半径，求水面涨高了多少实际是求MN的长度，建立直角三角形，利用勾股定理把OM求出来，根据OM-ON即为所求MN长．
解：连接OD ，
由题意得，OC ^ AB ，
∴AN = NB =AB =8 ,
同理可得， DM = ME =DE = 6 ，
设圆弧形所在圆的半径为R 米，则ON = (R - 4) 米，
在Rt△AON中，OA2 = AN2+ON2 ，即R2=82+(R-4)2，
解得：R = 10 ，
∴OM ===8，
则 MN = OM - ON = 2，
答：水面涨高了2米．

【点拨】此题考查的是垂径定理和勾股定理，结合垂径定理和勾股定理求解是解题关键．
【变式2】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）

【答案】6.64米
【分析】通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cos∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.

【点拨】本题为圆中计算的典型考题，考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键.
【变式3】 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）

阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【答案】AB=1寸，CD=10寸，⊙的直径为26寸．
【解析】连接CO，由垂径定理可得CA=5，在Rt△CAO中，利用勾股定理求出OC的长即可得.
解：连接，
∵，∴，
设，则，
在Rt中，，
∴．∴．
解得，∴⊙的直径为26寸．