终身会员
搜索
    上传资料 赚现金

    专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)

    立即下载
    加入资料篮
    专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)第1页
    专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)第2页
    专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)第3页
    还剩19页未读, 继续阅读
    下载需要5学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)

    展开

    这是一份专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版),共22页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题等内容,欢迎下载使用。


    专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)
    【学习目标】
    1.理解圆的对称性;
    2.掌握垂径定理及其推论;
    3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
    【要点梳理】
    知识点一、垂径定理
    1.垂径定理
      垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
    2.推论
      平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
      
    特别说明:
     (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即
      
     (2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.
    知识点二、垂径定理的推论
    根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:
    (1) 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
    (2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
    (3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
    特别说明:
    在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)
    【典型例题】
    类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦
    1.如图,是的直径,弦于点,点在上,恰好经过圆心,连接.
    (1)若,,求的直径;
    (2)若,求的度数.

    【答案】(1)20;(2)30°
    【分析】
    (1)由CD=16,BE=4,根据垂径定理得出CE=DE=8,设⊙O的半径为r,则,根据勾股定理即可求得结果;
    (2)由OM=OB得到∠B=∠M,根据三角形外角性质得∠DOB=∠B+∠M=2∠B,则2∠B+∠D=90°,加上∠B=∠D,所以2∠D+∠D=90°,然后解方程即可得∠D的度数.
    解:(1)∵AB⊥CD,CD=16,
    ∴CE=DE=8,
    设,
    又∵BE=4,

    ∴,
    解得:,
    ∴⊙O的直径是20.
    (2)∵OM=OB,
    ∴∠B=∠M,
    ∴∠DOB=∠B+∠M=2∠B,
    ∵∠DOB+∠D=90°,
    ∴2∠B+∠D=90°,
    ∵,
    ∴∠B=∠D,
    ∴2∠D+∠D=90°,
    ∴∠D=30°;
    【点拨】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
    举一反三:
    【变式1】 如图,在半径为的中,弦长.求:
    (1)的度数;
    (2)点O到的距离.

    【答案】(1)60°;(2)25mm
    【分析】
    (1)证明是等边三角形,从而可得结论;
    (2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
    解:(1)∵OA,OB是⊙O的半径,
    ∴OA=OB=50mm,
    又∵AB=50mm,
    ∴OA=OB=AB,
    ∴△AOB是等边三角形,
    ∴∠AOB=60°.  
    (2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,如图所示,

    由垂径定理得AC=CB=AB=25mm,
    在Rt△OAC中OC2=OA2-AC2=502-252=252×3,
    ∴OC==25(mm),
    即点O到AB的距离是25mm.
    【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质,圆的性质,垂径定理的应用,勾股定理的应用,熟练垂径定理的运用是解题的关键.
    【变式2】如图,是的直径,E为上一点,于点F,连接,,于点D.若,求线段长.

    【答案】6
    【分析】设OE=x,根据勾股定理求出x,根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3,根据垂径定理得到答案.
    解:设OE=x,则OF=x-2,
    由勾股定理得,OE2=OF2+EF2,即x2=(x-2)2+42,
    解得,x=5,
    ∴OF=3,
    ∵AC∥OE,OD⊥AC,
    ∴OD⊥OE,∠A=∠EOF,
    ∵OA=OE,EF⊥AB,
    ∴△ADO≌△OFE,
    ∴AD=OF=3,
    ∵OD⊥AC,
    ∴AC=2AD=6.
    【点拨】本题考查的是垂径定理的应用,掌握垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.
    类型二、利用垂径定理求进行证明
    2.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E.
    (1)求证:四边形ADOE是正方形;
    (2)若AC=2cm,求⊙O的半径.

    【答案】(1)见分析(2)cm
    【分析】
    (1)根据ACAB,ODAB,OEAC,可得四边形ADOE是矩形,由垂径定理可得AD=AE,根据邻边相等的矩形是正方形可证;
    (2)连接OA,由勾股定理可得.
    (1)证明:∵ACAB,ODAB,OEAC,
    ∴四边形ADOE是矩形,,,
    又∵AB=AC,
    ∴AD=AE,
    ∴四边形ADOE是正方形.
    (2)解:如图,连接OA,

    ∵四边形ADOE是正方形,
    ∴cm,
    在Rt△OAE中,由勾股定理可得:cm,
    即⊙O的半径为cm.
    【点拨】本题考查圆与正方形,熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质,是解题的关键.
    举一反三:
    【变式1】 如图,AB、CD为⊙O的两条弦,AB∥CD,经过AB中点E的直径MN与CD交于F点,求证:CF=DF

    【分析】根据垂径定理进行解答即可.
    解:∵E为AB中点,MN过圆心O,
    ∴MN⊥AB ,
    ∴∠MEB=90°,
    ∵AB∥CD ,
    ∴∠MFD=∠MEB=90°,
    即MN⊥CD ,
    ∴CF=DF.
    【点拨】本题考查了垂径定理的运用,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
    【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
    求证:AC=BD.

    【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E,根据垂径定理得到AE=BE,同理得到CE=DE,又因为AE-CE=BE-DE,进而求证出AC=BD.
    解:过O作OE⊥AB于点E,

    则CE=DE,AE=BE,
    ∴BE-DE=AE-CE.
    即AC=BD.
    【点拨】本题考查垂径定理的实际应用.
    类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦
    3.如图,∠AOB按以下步骤作图:①在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作圆弧PQ,交射线OB于点D;②连接CD,分别以点C、D为圆心,CD长为半径作弧,交圆弧PQ于点M、N;③连接OM,MN.根据以上作图过程及所作图形完成下列作答.
    (1)求证:OA垂直平分MD.
    (2)若,求∠MON的度数.
    (3)若,,求MN的长度.

    【答案】(1)证明见分析;(2);(3).
    【分析】
    (1)由垂径定理直接证明即可得;
    (2)根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得;
    (3)由(2)可得:,得出,根据等边三角形得判定可得为等边三角形,即可得出结果.
    (1)证明:如图所示,连接MD,

    由作图可知,,
    ∴,
    ∵OA是经过圆心的直线,
    ∴OA垂直平分MD;
    (2)解:如图所示,连接ON,

    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    即;
    (3)解:由(2)可得:

    ∴,
    ∵,
    ∴为等边三角形,
    ∴.
    【点拨】题目主要考查垂径定理,等弧所对的圆心角相等,等边三角形的判定和性质等,理解题意,综合运用这些基础知识点是解题关键.
    举一反三:
    【变式1】 如图,AB为圆O直径,F点在圆上,E点为AF中点,连接EO,作CO⊥EO交圆O于点C,作CD⊥AB于点D,已知直径为10,OE=4,求OD的长度.

    【答案】3
    【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF,由CO⊥EO,得到OC∥AF,即可得到∠OAE=∠COD,然后通过证得△AEO≌△ODC,证得CD=OE=4,然后根据勾股定理即可求得OD.
    解:∵E点为AF中点,
    ∴OE⊥AF,
    ∵CO⊥EO,
    ∴OC∥AF,
    ∴∠OAE=∠COD,
    ∵CD⊥AB,
    ∴∠AEO=∠ODC,
    在△AEO和△ODC中,

    ∴△AEO≌△ODC(AAS),
    ∴CD=OE=4,
    ∵OC=5,
    ∴OD===3.
    【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键.
    【变式2】如图所示,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线BC交x轴于D,交△ABO的外接圆⊙M于C,已知∠COD=∠OBC.
    (1)求证:MC⊥OA;
    (2)求直线BC的解析式.

    【答案】(1)见分析;(2)
    【分析】
    (1)利用弧弦角转化得,由垂径定理即可得MC⊥OA;
    (2)由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,求出A、B两点坐标,从而得到A、B中点M点坐标,再由勾股定理求出OM,进而求出点C坐标.由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可.
    解:(1)证明:∵∠COD=∠OBC,
    ∴,
    ∵点M是圆心,
    ∴由垂径定理的推论,得MC⊥OA;
    (2)解:∵MC⊥OA,
    ∴OG=GA=OA,
    ∵点M是圆心,
    ∴BM=AM,
    ∴GM是△AOB的中位线,
    ∴GM=OB,
    ∵与x轴、y轴分别交于A、B两点,
    ∴当x=0时,y=;当y=0时,x=3,
    ∴B(0,),A(3,0)
    ∴OB=,OA=3,
    ∴MG=,OG=,连接OM,在Rt△OGM中,由勾股定理,得OM=,
    ∴GC=,
    ∵点C在第三象限,
    ∴C(,).
    设直线BC的解析式为:y=kx+b,
    ∴解得:,
    直线BC的解析式为:

    【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质,垂径定理,数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键.
    类型四、利用垂径定理推论求进行证明
    4.如图所示,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB于D,F是⊙O上的点,且,BF交CG于点E,求证:CE=BE.

    【分析】
    证法一:连接CB,可证,从而可证明CE=BE;
    证法二:作ON⊥BF,垂足为N,连接OE,证明△ONE≌△ODE,可得NE=DE,再结合垂径定理可得BN=CD,再根据线段的差即可证明结论;
    证法三:连接OC交BF于点N,只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论.
    解:证法一:如图(1),连接BC,
    ∵ AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴∠C=∠CBE,
    ∴CE=BE.

    证法二:如图(2),作ON⊥BF,垂足为N,连接OE.
    ∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CG,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴BF=CG,ON=OD,
    ∵∠ONE=∠ODE=90°,OE=OE,ON=OD,
    ∴△ONE≌△ODE(HL),
    ∴NE=DE.
    ∵,,
    ∴BN=CD,
    ∴BN-EN=CD-ED,
    ∴BE=CE.
    证法三:如图(3),连接OC交BF于点N.
    ∵,
    ∴OC⊥BF,
    ∵AB是⊙O的直径,CG⊥AB,
    ∴,
    ∴,
    ∴,,
    ∵OC=OB,
    ∴OC-ON=OB-OD,
    即CN=BD,
    又∠CNE=∠BDE=90°,
    ∠CEN=∠BED,
    ∴△CNE≌△BDE,
    ∴CE=BE.
    【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等.熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键.
    举一反三:
    【变式1】如图,已知AB,CD是⊙O内非直径的两弦,求证:AB与CD不能互相平分.

    【分析】根据反证法的步骤进行证明:先假设AB与CD能互相平分,结合垂径定理的推论,进行推理,得到矛盾,从而肯定命题的结论正确.
    解:设AB,CD交于点P,连接OP,
    假设AB与CD能互相平分,则CP=DP,AP=BP,
    ∵AB,CD是圆O内非直径的两弦,
    ∴OP⊥AB,OP⊥CD,
    这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立,
    所以AB与CD不能互相平分

    【点拨】本题考查了反证法,解题的关键是:掌握反证法的步骤.
    【变式2】如图,已知在⊙O中, ,OC与AD相交于点E.求证:
    (1)AD∥BC
    (2)四边形BCDE为菱形.

    【分析】
    (1)连接BD,根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD,根据平行线的判定可得结论;
    (2)证明△DEF≌△BCF,得到DE=BC,证明四边形BCDE为平行四边形,再根据得到BC=CD,从而证明菱形.
    解:(1)连接BD,
    ∵,
    ∴∠ADB=∠CBD,
    ∴AD∥BC;

    (2)连接CD,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠EDF=∠CBF,
    ∵,
    ∴BC=CD,
    ∴BF=DF,又∠DFE=∠BFC,
    ∴△DEF≌△BCF(ASA),
    ∴DE=BC,
    ∴四边形BCDE是平行四边形,又BC=CD,
    ∴四边形BCDE是菱形.
    【点拨】本题考查了垂径定理,圆周角定理,弧、弦、圆心角的关系,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF.
    类型五、垂径定理及推论解决其他问题
    5.如图,为的一条弦,连接、,请在上作点C使得为以为底边的等腰三角形.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

    【分析】分别以点A、B为圆心,大于AB长的一半为半径画弧,交于两点,连接这两点,交于点C,则问题可求解.
    解:如图所示:

    【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质,熟练掌握垂径定理是解题的关键.
    举一反三:
    【变式1】 如图,一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C,以点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
    (1)根据图形提供的信息,标出该圆弧所在圆的圆心D,并连接AD、CD;
    (2)请在(1)的基础上,完成下列填空:⊙D的半径为    ;点(6,﹣2)在⊙D   (填“上”、“内”、“外”);∠ADC的度数为    .

    【答案】(1)见分析;(2)2,上,90°
    【分析】
    (1)根据原点所在的位置,建立平面直角坐标系即可;根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可;
    (2)由(1)得到D点坐标,即可得到OA,OD的长,利用勾股定理求解即可得到AD的长;利用两点距离公式求出点(6,-2)到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点(6,-2)与圆D的位置关系;利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案.
    解:(1)如图所示,即为所求;

    (2)由(1)可知D点坐标为(2,0),A点坐标为(0,4)
    ∴OD=2,OA=4,

    ∴圆D的半径为;
    ∵点(6,﹣2)到圆心D的距离为,
    ∴点(6,﹣2)到圆心D的距离等于半径的长,
    ∴点(6,﹣2)在⊙D上.
    ∵D(2,0),C(6,2),A(0,4),
    ∴,,
    ∴,
    ∴∠ADC=90°,
    故答案为:,上,90°.
    【点拨】本题主要考查了坐标与图形,两点距离公式,确定圆心位置,点与圆的位置关系,勾股定理的逆定理,解题的关键在于能够熟知相关知识.
    【变式2】如图,中,P是的中点,C、D是、的中点,过C、D的直线交于E、F.求证:.

    【分析】连结OC,OD,OP交EF于G,由P是的中点,可得,根据弧等相等可得AP=BP,由C、D是、的中点,根据垂径定理可得OC⊥PA,OD⊥PB,CP=,DP=,可求∠PCO=∠PDO=90°,CP=DP,由勾股定理OC==OD,根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线,可得CG=DG,根据垂径定理可得EG=FG即可.
    解:连结OC,OD,OP交EF于G,
    ∵P是的中点,
    ∴,
    ∴AP=BP,
    ∵C、D是、的中点,
    ∴OC⊥PA,OD⊥PB,CP=,DP=,
    ∴∠PCO=∠PDO=90°,CP=DP,
    ∴OC==OD,
    ∴OP是CD的垂直平分线,
    ∴CG=DG,
    ∵CD在EF上,EF是弦,OP为半径,OP⊥EF,
    ∴EG=FG,
    ∴EC=EG-CG=GF-GD=DF.
    ∴EC= DF.

    【点拨】本题考查弧了垂径定理,等腰三角形判定与性质,线段垂直平分线判定与性质,线段和差,掌握垂径定理,等腰三角形判定与性质,线段垂直平分线判定与性质,线段和差是解题关键.
    类型六、利用垂径定理及推论的实际应用
    6.把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,且折痕,求的半径.

    【答案】
    【分析】过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,根据垂径定理,可得,由折叠得: ,然后在中,利用勾股定理即可求得结果.
    解:如图,过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,

    ∴,
    由折叠得:,
    设,
    ∴在中,由勾股定理得:,
    即:
    解得: x1=,x2=(不合题意,舍去)

    答:的半径为.
    【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理,熟练运用相关性质和定理是解题的关键.
    举一反三:
    【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
    (1)请你补全这个输水管道的圆形截面(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
    (2)若这个输水管道有水部分的水面宽,水面最深地方的高度(即的中点到弦AB的距离)为4cm,求这个圆形截面所在圆的半径.

    【答案】(1)见分析 (2)10cm
    【分析】
    (1)根据尺规作图的步骤和方法做出图即可,
    (2)先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D,设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.
    (1)如图所示,⊙O为所求作的圆形截面.

    (2)如图,作半径OC⊥AB于D,连接OA,

    则AD=AB=8 cm,点C为的中点,
    进而,CD=4 cm.
    设这个圆形截面所在圆的半径为r cm,则OD=(r-4) cm.
    在Rt△ADO中,有82+(r-4)2=r2,
    解得r=10.
    即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm.
    【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,再根据勾股定理进行求解.
    【变式2】如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为30m,拱高PM为9m,当洪水泛滥到跨度只有15m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有2m,即PN=2m时,试求:
    (1)拱桥所在的圆的半径;
    (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.

    【答案】(1)拱桥所在的圆的半径为17m;(2)不需要采取紧急措施,理由见分析.
    【分析】
    (1)由垂径定理可知AM=BM、A′N=B′N,再在Rt△AOM中,由勾股定理得出方程,即可求出半径;
    (2)求出ON=OP﹣PN=15(m),再由勾股定理可得A′N=8(m),则A′B′=2A'N=16米>15m,即可得出结论.
    解:(1)设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA′,
    设半径为xm,
    则OA=OA′=OP,
    由垂径定理可知AM=BM,A′N=B′N,
    ∵AB=30m,
    ∴AM=AB=15(m),
    在Rt△AOM中,OM=OP﹣PM=(x﹣9)m,
    由勾股定理可得:AO2=OM2+AM2,
    即x2=(x﹣9)2+152,
    解得:x=17,
    即拱桥所在的圆的半径为17m;
    (2)∵OP=17m,
    ∴ON=OP﹣PN=17﹣2=15(m),
    在Rt△A′ON中,由勾股定理可得A′N==8(m),
    ∴A′B′=2A'N=16米>15m,
    ∴不需要采取紧急措施.

    【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用,勾股定理,准确计算是解题的关键.

    相关学案

    初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似学案及答案:

    这是一份初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似学案及答案,共15页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题等内容,欢迎下载使用。

    数学九年级下册27.3 位似学案:

    这是一份数学九年级下册27.3 位似学案,共20页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题等内容,欢迎下载使用。

    专题24.10 圆周角(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版):

    这是一份专题24.10 圆周角(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版),共20页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六等内容,欢迎下载使用。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单
        欢迎来到教习网
        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        使用学贝下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map