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专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
展开这是一份专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版),共22页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题等内容,欢迎下载使用。
专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理(知识讲解)
【学习目标】
1.理解圆的对称性;
2.掌握垂径定理及其推论;
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
特别说明:
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即
(2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的推论
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:
(1) 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
特别说明:
在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)
【典型例题】
类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦
1.如图,是的直径,弦于点,点在上,恰好经过圆心,连接.
(1)若,,求的直径;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)20;(2)30°
【分析】
(1)由CD=16,BE=4,根据垂径定理得出CE=DE=8,设⊙O的半径为r,则,根据勾股定理即可求得结果;
(2)由OM=OB得到∠B=∠M,根据三角形外角性质得∠DOB=∠B+∠M=2∠B,则2∠B+∠D=90°,加上∠B=∠D,所以2∠D+∠D=90°,然后解方程即可得∠D的度数.
解:(1)∵AB⊥CD,CD=16,
∴CE=DE=8,
设,
又∵BE=4,
∴
∴,
解得:,
∴⊙O的直径是20.
(2)∵OM=OB,
∴∠B=∠M,
∴∠DOB=∠B+∠M=2∠B,
∵∠DOB+∠D=90°,
∴2∠B+∠D=90°,
∵,
∴∠B=∠D,
∴2∠D+∠D=90°,
∴∠D=30°;
【点拨】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
举一反三:
【变式1】 如图,在半径为的中,弦长.求:
(1)的度数;
(2)点O到的距离.
【答案】(1)60°;(2)25mm
【分析】
(1)证明是等边三角形,从而可得结论;
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
解:(1)∵OA,OB是⊙O的半径,
∴OA=OB=50mm,
又∵AB=50mm,
∴OA=OB=AB,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=60°.
(2)过点O作OC⊥AB,垂足为点C,如图所示,
由垂径定理得AC=CB=AB=25mm,
在Rt△OAC中OC2=OA2-AC2=502-252=252×3,
∴OC==25(mm),
即点O到AB的距离是25mm.
【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质,圆的性质,垂径定理的应用,勾股定理的应用,熟练垂径定理的运用是解题的关键.
【变式2】如图,是的直径,E为上一点,于点F,连接,,于点D.若,求线段长.
【答案】6
【分析】设OE=x,根据勾股定理求出x,根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD=OF=3,根据垂径定理得到答案.
解:设OE=x,则OF=x-2,
由勾股定理得,OE2=OF2+EF2,即x2=(x-2)2+42,
解得,x=5,
∴OF=3,
∵AC∥OE,OD⊥AC,
∴OD⊥OE,∠A=∠EOF,
∵OA=OE,EF⊥AB,
∴△ADO≌△OFE,
∴AD=OF=3,
∵OD⊥AC,
∴AC=2AD=6.
【点拨】本题考查的是垂径定理的应用,掌握垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.
类型二、利用垂径定理求进行证明
2.如图,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E.
(1)求证:四边形ADOE是正方形;
(2)若AC=2cm,求⊙O的半径.
【答案】(1)见分析(2)cm
【分析】
(1)根据ACAB,ODAB,OEAC,可得四边形ADOE是矩形,由垂径定理可得AD=AE,根据邻边相等的矩形是正方形可证;
(2)连接OA,由勾股定理可得.
(1)证明:∵ACAB,ODAB,OEAC,
∴四边形ADOE是矩形,,,
又∵AB=AC,
∴AD=AE,
∴四边形ADOE是正方形.
(2)解:如图,连接OA,
∵四边形ADOE是正方形,
∴cm,
在Rt△OAE中,由勾股定理可得:cm,
即⊙O的半径为cm.
【点拨】本题考查圆与正方形,熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质,是解题的关键.
举一反三:
【变式1】 如图,AB、CD为⊙O的两条弦,AB∥CD,经过AB中点E的直径MN与CD交于F点,求证:CF=DF
【分析】根据垂径定理进行解答即可.
解:∵E为AB中点,MN过圆心O,
∴MN⊥AB ,
∴∠MEB=90°,
∵AB∥CD ,
∴∠MFD=∠MEB=90°,
即MN⊥CD ,
∴CF=DF.
【点拨】本题考查了垂径定理的运用,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
求证:AC=BD.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E,根据垂径定理得到AE=BE,同理得到CE=DE,又因为AE-CE=BE-DE,进而求证出AC=BD.
解:过O作OE⊥AB于点E,
则CE=DE,AE=BE,
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【点拨】本题考查垂径定理的实际应用.
类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦
3.如图,∠AOB按以下步骤作图:①在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作圆弧PQ,交射线OB于点D;②连接CD,分别以点C、D为圆心,CD长为半径作弧,交圆弧PQ于点M、N;③连接OM,MN.根据以上作图过程及所作图形完成下列作答.
(1)求证:OA垂直平分MD.
(2)若,求∠MON的度数.
(3)若,,求MN的长度.
【答案】(1)证明见分析;(2);(3).
【分析】
(1)由垂径定理直接证明即可得;
(2)根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得;
(3)由(2)可得:,得出,根据等边三角形得判定可得为等边三角形,即可得出结果.
(1)证明:如图所示,连接MD,
由作图可知,,
∴,
∵OA是经过圆心的直线,
∴OA垂直平分MD;
(2)解:如图所示,连接ON,
∵,
∴,
∴,
∴,
即;
(3)解:由(2)可得:
,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
∴.
【点拨】题目主要考查垂径定理,等弧所对的圆心角相等,等边三角形的判定和性质等,理解题意,综合运用这些基础知识点是解题关键.
举一反三:
【变式1】 如图,AB为圆O直径,F点在圆上,E点为AF中点,连接EO,作CO⊥EO交圆O于点C,作CD⊥AB于点D,已知直径为10,OE=4,求OD的长度.
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF,由CO⊥EO,得到OC∥AF,即可得到∠OAE=∠COD,然后通过证得△AEO≌△ODC,证得CD=OE=4,然后根据勾股定理即可求得OD.
解:∵E点为AF中点,
∴OE⊥AF,
∵CO⊥EO,
∴OC∥AF,
∴∠OAE=∠COD,
∵CD⊥AB,
∴∠AEO=∠ODC,
在△AEO和△ODC中,
,
∴△AEO≌△ODC(AAS),
∴CD=OE=4,
∵OC=5,
∴OD===3.
【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键.
【变式2】如图所示,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线BC交x轴于D,交△ABO的外接圆⊙M于C,已知∠COD=∠OBC.
(1)求证:MC⊥OA;
(2)求直线BC的解析式.
【答案】(1)见分析;(2)
【分析】
(1)利用弧弦角转化得,由垂径定理即可得MC⊥OA;
(2)由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,求出A、B两点坐标,从而得到A、B中点M点坐标,再由勾股定理求出OM,进而求出点C坐标.由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可.
解:(1)证明:∵∠COD=∠OBC,
∴,
∵点M是圆心,
∴由垂径定理的推论,得MC⊥OA;
(2)解:∵MC⊥OA,
∴OG=GA=OA,
∵点M是圆心,
∴BM=AM,
∴GM是△AOB的中位线,
∴GM=OB,
∵与x轴、y轴分别交于A、B两点,
∴当x=0时,y=;当y=0时,x=3,
∴B(0,),A(3,0)
∴OB=,OA=3,
∴MG=,OG=,连接OM,在Rt△OGM中,由勾股定理,得OM=,
∴GC=,
∵点C在第三象限,
∴C(,).
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
∴解得:,
直线BC的解析式为:
【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质,垂径定理,数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键.
类型四、利用垂径定理推论求进行证明
4.如图所示,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB于D,F是⊙O上的点,且,BF交CG于点E,求证:CE=BE.
【分析】
证法一:连接CB,可证,从而可证明CE=BE;
证法二:作ON⊥BF,垂足为N,连接OE,证明△ONE≌△ODE,可得NE=DE,再结合垂径定理可得BN=CD,再根据线段的差即可证明结论;
证法三:连接OC交BF于点N,只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论.
解:证法一:如图(1),连接BC,
∵ AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB,
∴,
∵,
∴,
∴∠C=∠CBE,
∴CE=BE.
证法二:如图(2),作ON⊥BF,垂足为N,连接OE.
∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CG,
∴,
∵,
∴,
∴BF=CG,ON=OD,
∵∠ONE=∠ODE=90°,OE=OE,ON=OD,
∴△ONE≌△ODE(HL),
∴NE=DE.
∵,,
∴BN=CD,
∴BN-EN=CD-ED,
∴BE=CE.
证法三:如图(3),连接OC交BF于点N.
∵,
∴OC⊥BF,
∵AB是⊙O的直径,CG⊥AB,
∴,
∴,
∴,,
∵OC=OB,
∴OC-ON=OB-OD,
即CN=BD,
又∠CNE=∠BDE=90°,
∠CEN=∠BED,
∴△CNE≌△BDE,
∴CE=BE.
【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等.熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键.
举一反三:
【变式1】如图,已知AB,CD是⊙O内非直径的两弦,求证:AB与CD不能互相平分.
【分析】根据反证法的步骤进行证明:先假设AB与CD能互相平分,结合垂径定理的推论,进行推理,得到矛盾,从而肯定命题的结论正确.
解:设AB,CD交于点P,连接OP,
假设AB与CD能互相平分,则CP=DP,AP=BP,
∵AB,CD是圆O内非直径的两弦,
∴OP⊥AB,OP⊥CD,
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立,
所以AB与CD不能互相平分
【点拨】本题考查了反证法,解题的关键是:掌握反证法的步骤.
【变式2】如图,已知在⊙O中, ,OC与AD相交于点E.求证:
(1)AD∥BC
(2)四边形BCDE为菱形.
【分析】
(1)连接BD,根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD,根据平行线的判定可得结论;
(2)证明△DEF≌△BCF,得到DE=BC,证明四边形BCDE为平行四边形,再根据得到BC=CD,从而证明菱形.
解:(1)连接BD,
∵,
∴∠ADB=∠CBD,
∴AD∥BC;
(2)连接CD,
∵AD∥BC,
∴∠EDF=∠CBF,
∵,
∴BC=CD,
∴BF=DF,又∠DFE=∠BFC,
∴△DEF≌△BCF(ASA),
∴DE=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,又BC=CD,
∴四边形BCDE是菱形.
【点拨】本题考查了垂径定理,圆周角定理,弧、弦、圆心角的关系,全等三角形的判定和性质,菱形的判定,解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF.
类型五、垂径定理及推论解决其他问题
5.如图,为的一条弦,连接、,请在上作点C使得为以为底边的等腰三角形.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【分析】分别以点A、B为圆心,大于AB长的一半为半径画弧,交于两点,连接这两点,交于点C,则问题可求解.
解:如图所示:
【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质,熟练掌握垂径定理是解题的关键.
举一反三:
【变式1】 如图,一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C,以点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)根据图形提供的信息,标出该圆弧所在圆的圆心D,并连接AD、CD;
(2)请在(1)的基础上,完成下列填空:⊙D的半径为 ;点(6,﹣2)在⊙D (填“上”、“内”、“外”);∠ADC的度数为 .
【答案】(1)见分析;(2)2,上,90°
【分析】
(1)根据原点所在的位置,建立平面直角坐标系即可;根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可;
(2)由(1)得到D点坐标,即可得到OA,OD的长,利用勾股定理求解即可得到AD的长;利用两点距离公式求出点(6,-2)到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点(6,-2)与圆D的位置关系;利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案.
解:(1)如图所示,即为所求;
(2)由(1)可知D点坐标为(2,0),A点坐标为(0,4)
∴OD=2,OA=4,
,
∴圆D的半径为;
∵点(6,﹣2)到圆心D的距离为,
∴点(6,﹣2)到圆心D的距离等于半径的长,
∴点(6,﹣2)在⊙D上.
∵D(2,0),C(6,2),A(0,4),
∴,,
∴,
∴∠ADC=90°,
故答案为:,上,90°.
【点拨】本题主要考查了坐标与图形,两点距离公式,确定圆心位置,点与圆的位置关系,勾股定理的逆定理,解题的关键在于能够熟知相关知识.
【变式2】如图,中,P是的中点,C、D是、的中点,过C、D的直线交于E、F.求证:.
【分析】连结OC,OD,OP交EF于G,由P是的中点,可得,根据弧等相等可得AP=BP,由C、D是、的中点,根据垂径定理可得OC⊥PA,OD⊥PB,CP=,DP=,可求∠PCO=∠PDO=90°,CP=DP,由勾股定理OC==OD,根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线,可得CG=DG,根据垂径定理可得EG=FG即可.
解:连结OC,OD,OP交EF于G,
∵P是的中点,
∴,
∴AP=BP,
∵C、D是、的中点,
∴OC⊥PA,OD⊥PB,CP=,DP=,
∴∠PCO=∠PDO=90°,CP=DP,
∴OC==OD,
∴OP是CD的垂直平分线,
∴CG=DG,
∵CD在EF上,EF是弦,OP为半径,OP⊥EF,
∴EG=FG,
∴EC=EG-CG=GF-GD=DF.
∴EC= DF.
【点拨】本题考查弧了垂径定理,等腰三角形判定与性质,线段垂直平分线判定与性质,线段和差,掌握垂径定理,等腰三角形判定与性质,线段垂直平分线判定与性质,线段和差是解题关键.
类型六、利用垂径定理及推论的实际应用
6.把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,且折痕,求的半径.
【答案】
【分析】过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,根据垂径定理,可得,由折叠得: ,然后在中,利用勾股定理即可求得结果.
解:如图,过点O作OE⊥AB于点E,连接OA,
∴,
由折叠得:,
设,
∴在中,由勾股定理得:,
即:
解得: x1=,x2=(不合题意,舍去)
∴
答:的半径为.
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理,熟练运用相关性质和定理是解题的关键.
举一反三:
【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽,水面最深地方的高度(即的中点到弦AB的距离)为4cm,求这个圆形截面所在圆的半径.
【答案】(1)见分析 (2)10cm
【分析】
(1)根据尺规作图的步骤和方法做出图即可,
(2)先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D,设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.
(1)如图所示,⊙O为所求作的圆形截面.
(2)如图,作半径OC⊥AB于D,连接OA,
则AD=AB=8 cm,点C为的中点,
进而,CD=4 cm.
设这个圆形截面所在圆的半径为r cm,则OD=(r-4) cm.
在Rt△ADO中,有82+(r-4)2=r2,
解得r=10.
即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm.
【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,再根据勾股定理进行求解.
【变式2】如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为30m,拱高PM为9m,当洪水泛滥到跨度只有15m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有2m,即PN=2m时,试求:
(1)拱桥所在的圆的半径;
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【答案】(1)拱桥所在的圆的半径为17m;(2)不需要采取紧急措施,理由见分析.
【分析】
(1)由垂径定理可知AM=BM、A′N=B′N,再在Rt△AOM中,由勾股定理得出方程,即可求出半径;
(2)求出ON=OP﹣PN=15(m),再由勾股定理可得A′N=8(m),则A′B′=2A'N=16米>15m,即可得出结论.
解:(1)设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA′,
设半径为xm,
则OA=OA′=OP,
由垂径定理可知AM=BM,A′N=B′N,
∵AB=30m,
∴AM=AB=15(m),
在Rt△AOM中,OM=OP﹣PM=(x﹣9)m,
由勾股定理可得:AO2=OM2+AM2,
即x2=(x﹣9)2+152,
解得:x=17,
即拱桥所在的圆的半径为17m;
(2)∵OP=17m,
∴ON=OP﹣PN=17﹣2=15(m),
在Rt△A′ON中,由勾股定理可得A′N==8(m),
∴A′B′=2A'N=16米>15m,
∴不需要采取紧急措施.
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用,勾股定理,准确计算是解题的关键.
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