高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试导学案，共8页。学案主要包含了直线的方程，直线与圆，圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的关系等内容，欢迎下载使用。


一、直线的方程
1．直线有五种方程：重点是点斜式、斜截式和一般式方程，直线是平面解析几何的核心内容，求直线的方程一般用公式法和待定系数法，注意五种方程的各自特点和优缺点，在利用待定系数法求直线方程时，选择哪种方程，注意讨论斜率是否存在，截距是否存在，是否为0等特殊情况，以免漏解．
2．掌握直线方程的五种形式，会求直线的方程，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
例1 已知直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：ax－y＋4＝0(a∈R)．
(1)若直线l1与直线l2平行，求实数a的值；
(2)若直线l1与直线l2垂直，求直线l1与l2的交点坐标．
解 已知直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：ax－y＋4＝0(a∈R)．
(1)若直线l1与直线l2平行，则有eq \f(a,1)＝eq \f(－1,3)≠eq \f(4,－5)，
解得a＝－eq \f(1,3).
(2)若直线l1与直线l2垂直，则有－eq \f(1,3)·a＝－1，
解得a＝3，
两直线即直线l1：x＋3y－5＝0，直线l2：3x－y＋4＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y－5＝0，,3x－y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(7,10)，,y＝\f(19,10)，))
∴直线l1与l2的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,10)，\f(19,10))).
反思感悟 求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方法，常用以下两种方法求解
(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果．
(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．
跟踪训练1 已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，其中m∈R.
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程．
(1)证明 直线方程为(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0，
可化为(2x＋y＋4)＋m(－x＋2y＋3)＝0对任意m都成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＋3＝0，,2x＋y＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2，))
所以直线l恒过定点(－1，－2)．
(2)解 设定点为P(－1，－2)，
当m变化，PQ⊥直线l时，
点Q(3,4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，
即eq \r(3＋12＋4＋22)＝2eq \r(13)，
此时直线l过点P(－1，－2)且与PQ垂直，
所以－eq \f(2－m,2m＋1)·eq \f(－2－4,－1－3)＝－1，解得m＝eq \f(4,7).
故直线l的方程为2x＋3y＋8＝0.
二、直线与圆
1．直线与圆在考试中是常考、必考题型，主要考查直线与圆的三种位置关系以及直线与圆相切求方程、直线与圆相交求弦长等问题．
2．掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法：代数法和几何法，会求直线与圆相交的弦长，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 已知直线l：kx－y－4k＋3＝0(k∈R)，圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．
解 直线l：kx－y－4k＋3＝0可化为(x－4)k－y＋3＝0，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝0，,－y＋3＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))
所以直线l过定点M(4,3)．
由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，
因为直线MC的斜率为－1，
所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x－y－1＝0.
反思感悟 直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法．一般常用几何法，而不用代数法．因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．
跟踪训练2 已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A，B两点，则线段AB的长度为________．
答案 2eq \r(5)
解析 由圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相减可得，
公共弦的方程为x－2y＋4＝0，
又圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为5eq \r(2)，
可得C1到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq \f(|1＋10＋4|,\r(1＋4))＝3eq \r(5)，
则|AB|＝2eq \r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq \r(5).
三、圆锥曲线的性质
1．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质是圆锥曲线的核心内容．主要考查由性质求方程，由基本量求离心率、渐近线等，其中离心率是重点，也是难点内容．
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质并会简单应用，提升逻辑推理与数学运算素养．
例3 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)在第一象限上的一点P与椭圆的左、右焦点F1，F2恰好构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 因为点P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上位于第一象限的点，|PF1|>|PF2|，
所以∠PF1F2为锐角，
因为△PF1F2是顶角为120°的等腰三角形，
但∠PF1F2<∠PF2F1，故∠PF2F1＝120°，
所以|PF2|＝|F2F1|＝2c，
由余弦定理可得
|PF1|＝eq \r(|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cs 120°)
＝2eq \r(3)c，
∴|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(3)c＋2c＝2a，
故eq \f(c,a)＝eq \f(2,2\r(3)＋2)＝eq \f(\r(3)－1,2).
反思感悟 常见具体类型
(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围．
(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围．
(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质．
跟踪训练3 已知抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,2)＝1
C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
答案 C
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，
双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线为y＝±bx，
不妨取其中一条渐近线y＝bx，即bx－y＝0，
所以eq \f(|b|,\r(b2＋1))＝eq \f(\r(3),2)，解得b2＝3，
所以双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
四、直线与圆锥曲线的关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系是常考查题型，也是易错题型，特别是直线与双曲线，直线与抛物线相交问题，直线与圆锥曲线相交，求相交弦的弦长是重点内容，圆锥曲线的综合应用是考查的难点．
2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系，会求相交弦的弦长并能简单的应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
例4 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(2\r(5),5)，且焦距为8.
(1)求C的方程；
(2)设直线l的倾斜角为eq \f(π,3)，且与C交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．
解 (1)依题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＝\r(1－\f(b2,a2))＝\f(2\r(5),5)，,2c＝8，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝20，,b2＝4，))
故C的方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)依题意可设直线l的方程为y＝eq \r(3)x＋m，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x＋m，,\f(x2,20)＋\f(y2,4)＝1，))
整理得16x2＋10eq \r(3)mx＋5m2－20＝0，
则Δ＝300m2－64(5m2－20)>0，
解得－8设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(5\r(3)m,8)，x1x2＝eq \f(5m2－20,16)，
|AB|＝eq \r(1＋3)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝2eq \r(\f(75m2,64)－\f(5m2－20,4))
＝eq \f(\r(－5m2＋320),4)，
原点到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋3))＝eq \f(|m|,2)，
则△AOB的面积
S＝eq \f(1,2)d·|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(|m|,2)·eq \f(\r(－5m2＋320),4)＝eq \f(\r(－5m2－322＋5 120),16)，
当且仅当m2＝32，即m＝±4eq \r(2)时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2eq \r(5).
反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题．
跟踪训练4 (1)点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为________．
答案 2x－y－15＝0
解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则xeq \\al(2,1)－4yeq \\al(2,1)＝4，xeq \\al(2,2)－4yeq \\al(2,2)＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，
所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4y1＋y2)＝2，
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0，
即直线方程为2x－y－15＝0.
(2)已知以抛物线E：y2＝4x的焦点为圆心，与E的准线相切的圆交E于A，B两点，则|AB|等于( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．6
答案 B
解析 ∵y2＝4x，∴焦点F(1,0)，
以F为圆心的圆与抛物线准线相切，由抛物线定义及对称性知AB为抛物线通径．
∴|AB|＝2p＝4.
1．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝1，则点C的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
2．设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(7,2) B．3 C.eq \f(5,2) D．2
答案 B
解析 方法一 由题意知a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
故PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝3.
方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，
且|F1F2|＝2eq \r(1＋3)＝4.
设点P的坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－\f(y\\al(2,0),3)＝1，,\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝2，))解得|y0|＝eq \f(3,2).
所以△PF1F2的面积为
eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×eq \f(3,2)＝3.
3．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq \f(p,2)＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.
4．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P，Q两点(点P在第二象限)，若Q关于x轴对称的点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，则直线l的方程为________．
答案 y＝－x＋1
解析 由条件可知△FQQ′是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角是135°，
所以直线l的斜率是tan 135°＝－1，且过点F(1,0)，
得到直线l的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋1.