高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试导学案

章末复习课

一、指数、对数的运算

1．指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明．

2．掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养．

例1　化简并计算(式中字母均为正数)．

(1)(－)÷()；

(2)＋－＋lg 4＋2lg 5＋log49·log34.

解　(1)原式＝··÷

＝···

＝·＝4x·.

(2)原式＝＋|π－4|－32·＋lg 4＋lg 25＋2log43·log34

＝3＋4－π－18＋lg(4×25)＋2·＝－π－7.

反思感悟　指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

跟踪训练1　计算：

(1)1－－－＋(－)0；

(2)log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－.

解　(1)1－－－＋(－)0

＝1－－－＋1

＝1－－2＋－＋1＝－.

(2)log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－

＝log2＋＋＋lg 4＋lg 52－

＝－2＋＋81＋lg 100－2＝79.

二、指数函数、对数函数的图象及其应用

1．指数函数、对数函数的图象及应用有两个方面：一是已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题．

2．掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．

例2　已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)

答案　C

解析　函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B，

若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数，

此时g(x)＝loga是减函数，C，D都不满足，

若a>1，则f(x)＝ax是增函数，

此时g(x)＝loga是增函数，C满足．

反思感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．

跟踪训练2　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

答案　A

解析　若0<a<1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，

又由函数y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，排除C，D.

若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，

函数y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴x＝在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足．

三、指数函数、对数函数的性质及其应用

1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．

2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养．

例3　(1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则(　　)

A．a>b>c   B．b>a>c

C．a>c>b   D．c>b>a

答案　C

解析　∵a＝log2π>log22＝1，b＝<＝0，

c＝π－2＝，即0<c<1，∴a>c>b.

(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.

①求a的值；

②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．

解　①因为loga3>loga2，

所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．

又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.

②函数y＝(log3x)2－log3＋2

＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.

令t＝log3x，

因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.

所以y＝2＋∈，

所以所求函数的值域为.

反思感悟　要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决．

跟踪训练3　若0<x<y<1，则(　　)

A．3y<3x   B．logx3<logy3

C．log4x<log4y   D.x<y

答案　C

解析　因为0<x<y<1，则

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．

对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．

对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．

四、函数的零点与方程的根

1．函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴交点以及两函数交点问题．

2．掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养．

例4　(1)设函数f(x)＝log2x＋2x－3，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

答案　B

解析　因为函数f(x)＝log2x＋2x－3，

所以f(1)＝log21＋21－3＝－1<0，

f(2)＝log22＋22－3＝2>0，

所以根据函数零点存在定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．

(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－∞，1)

C．(－1,0)   D．[－1,0)

答案　D

解析　由3x－1＝0可得x＝>0，若函数在R上有两个零点，可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根，即y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，因为x≤0时，ex∈(0,1]；又y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，所以0<－a≤1，即－1≤a<0.

反思感悟　(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇒函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇒函数y＝f(x)有零点．

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．

跟踪训练4　(1)方程＝x的根x0所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)  C．(2,3)  D．(3,4)

答案　B

解析　将方程变形，并构造函数f(x)＝－x，

因为y＝和y＝－x均为增函数，

所以f(x)＝－x也为增函数，

由函数解析式可得f(0)＝0－1＝－1<0，

f(1)＝－＝－<0，

f(2)＝2－＝>0，

由函数零点存在定理可得f(x)＝－x的零点在(1,2)内，

即方程＝x的根x0所在的区间为(1,2)．

(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程2x－2[x]－1＝0的根有(　　)

A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

答案　B

解析　方程2x－2[x]－1＝0根的个数等价于y＝2x－1与y＝2[x]的图象交点个数，

在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：

由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，

∴方程2x－2[x]－1＝0有3个根．

1．(2019·全国Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．c<a<b   D．b<c<a

答案　B

解析　∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.

2．(2019·全国Ⅱ)若a>b，则(　　)

A．ln(a－b)>0   B．3a<3b

C．a3－b3>0   D．|a|>|b|

答案　C

解析　由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．

3．(2019·全国Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)

A．f >>

B．f >>

C．>>f 

D．>>f 

答案　C

解析　根据函数f(x)为偶函数可知，

 f ＝f(－log34)＝f(log34)，

因为0<<<20<log34，

且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以>>f .

4．(2019·全国Ⅲ)函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)

答案　B

解析　因为f(x)＝，

所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6,6]，

所以函数y＝为奇函数，排除C；

当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；

因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A.

5．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1   B．10.1

C．lg 10.1   D．10－10.1

答案　A

解析　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg，得－26.7＋1.45＝lg，则lg＝－25.25，∴lg＝－10.1，lg＝10.1，∴＝1010.1.