高中第二章 等式与不等式本章综合与测试学案设计

章末复习课

一、一元二次方程的解集及其根与系数的关系

1．关于解方程，要依据一元二次方程的结构特点，灵活选用“分解因式法、配方法、公式法”几种方法．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)若b＝0，直接开平方；若c＝0，用因式分解法．

(2)若b，c都不为0，一般遵循“先分解因式法→后配方法→再公式法”的顺序，具体来说：

①如果能在有理数范围内分解因式，用分解因式法计算量小；

②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法；

③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解，而公式法是万能法．

2．一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中一般不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用，要重点加强数学运算、逻辑推理素养的提高．

例1　已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

(2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值．

解　(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．

∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，

∴解得k＜0.

又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，

∴

∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－.

∴k＝.

又k<0，

∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．

(2)∵＋－2＝＝

＝－.

∴要使其值是整数，只需4能被k＋1整除，即k＋1＝±1，±2，±4.又k＜0，

∴使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5.

反思感悟　利用根与系数的关系解题首先要考虑二次项的系数不为零，其次一定要使一元二次方程的判别式大于等于零．

跟踪训练1　已知关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，

(1)求证：方程有两个实数根；

(2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；

(3)我们定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个正实数根x1，x2(x1>x2)，满足2＜＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”，求k的取值范围．

(1)证明　∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，a＝k，b＝－(k－1)，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝[－(k－1)]2－4k×(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，

∴关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个实数根．

(2)解　由根与系数的关系知x1＋x2＝(k≠0)，

由题意知x1＋x2＝0，

∴k＝1.

(3)解　当k>0时，x1＝1，x2＝－<0，不符合题意；

当－1<k＜0时，x1＝－，x2＝1,2＜＜3，

得解得－<k<－；

当k<－1时，x1＝1，x2＝－，

由2＜＜3，得2＜－k＜3，

解得－3＜k＜－2；

当k＝－1时，x1＝x2，不符合题意．

综上所述，关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”时，k的取值范围为∪(－3，－2)．

二、不等式性质的应用

1．在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意．

2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象、逻辑推理以及数学运算的素养．

例2　(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0

C．若a>b，c>d，则a－d>b－c

D．若a>b，c>d>0，则>

答案　BC

解析　若a>0>b,0>c>d，则ac<bd，故A错；

若ab>0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B对；

若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C对；

若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错．

反思感悟　判断关于不等式的命题真假的两种方法

(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，然后进行推理判断．

(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．

跟踪训练2　(多选)对于实数a，b，c，下列命题正确的是(　　)

A．若a>b，则ac<bc

B．若ac2<bc2，则a>b

C．若a<b<0，则a2>ab>b2

D．若a>b，>，则a>0，b<0

答案　CD

解析　A项， 若a>b，则ac<bc，当c≥0时不成立，排除；

B项，若ac2<bc2，故c2>0 则a<b，不正确；

C项，若a<b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，∴a2>ab>b2，正确；

D项，若a>b，－＝>0，

∴ab<0，∴a>0，b<0，正确．

三、求不等式的解集

1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．

2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．

3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例3　解下列不等式：

(1)|x－1|＋|2x＋1|＜2；

(2)x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.

解　(1)由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－时，|2x＋1|＝0(以下分类讨论)．

①当x＜－时，原不等式等价于

解得－＜x＜－.

②当－≤x≤1时，原不等式等价于

解得－≤x＜0.

③当x＞1时，原不等式等价于

不等式组无解．

由①②③得原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，

讨论a＋1与2(a－1)的大小．

①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．

②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.

③当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1，

综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，

当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，

当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}．

反思感悟　(1)含有两个绝对值的不等式的解法要注意分类讨论法的应用．

(2)对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏．

跟踪训练3　解下列不等式：

(1)|3x－2|＋|x－1|＞3；

(2)m2x2＋2mx－3＜0.

解　(1)当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝1－x＋2－3x＝3－4x，

由3－4x＞3得x＜0，∴x<0.

当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，

由2x－1＞3得x＞2，∴x∈∅.

当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，

由4x－3＞3得x＞，

∴x＞.

故原不等式的解集为.

(2)当m＝0时，－3＜0恒成立，不等式的解集为R.

当m≠0时，二次项系数m2＞0，Δ＝16m2＞0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)＜0.

当m＞0时，不等式的解集为；

当m＜0时，不等式的解集为.

四、均值不等式的应用

1．均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际应用相结合，同时在均值不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查恒等变形的技巧，另外，均值不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．

2．熟练掌握均值不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养．

例4　已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则y＝a的最大值为________．

答案　

解析　∵a2＋＝1，

∴2a2＋b2＝2.

又∵a是正数，b也是正数，

∴y＝a＝

＝·≤·＝，

当且仅当即时，等号成立．

∴y＝a有最大值.

反思感悟　条件不等式的最值问题的解题策略

注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的．很多题目中特别注意“1”的代换．

跟踪训练4　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)

A．5  B.  C.  D．2

答案　C

解析　因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，

则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，所以＋≥，当且仅当即时，等号成立，因此＋的最小值为.故选C.

1．(2020·全国Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B等于(　　)

A．∅   B．{－3，－2,2,3}

C．{－2,0,2}   D．{－2,2}

答案　D

解析　集合A＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，将这五个值逐一代入集合B验证，只有－2和2符合题意，所以A∩B＝{－2,2}．

2．(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a等于(　　)

A．－4  B．－2  C．2  D．4

答案　B

解析　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝.

由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，

所以a＝－2.

3．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

答案　30

解析　一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2＝240，

当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

4．(2019·北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

答案　130　15

解析　①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．

②设顾客一次购买的水果总价为m元，由题意知，当0<m<120时，x＝0，当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%，得x≤对任意m≥120恒成立，又≥15，

所以x的最大值为15.

5．(2019·天津)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

答案　4

解析　＝＝＝2＋ .由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.