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2021学年10.1 随机事件与概率课堂检测
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这是一份2021学年10.1 随机事件与概率课堂检测，共19页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】D，【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
10.1随机事件与概率同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 小明打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. 18 C. D.
2. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3
3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：10=5+5=3+7(其中3+7与7+3算同一种方法)，在大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为( )
A. 45 B. 35 C. 12 D. 15
4. 甲、乙两人每人可以用手出0，5，10三种数字，同时可以喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时为胜，若甲喊10，乙喊15，则( )
A. 甲胜的概率大 B. 乙胜的概率大
C. 甲、乙胜的概率一样大 D. 不能确定
5. 现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A. 12 B. 13 C. 16 D. 112
6. 已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(B)=0.2，则P(A)=( )
A. 0.5 B. 0.1 C. 0.7 D. 0.8
7. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A. A⊆D B. B∩D=⌀ C. A∪C=D D. A∪B=B∪D
8. 已知函数f(x)=12ax2+bx+1，其中a∈{2,4}，b∈{1,3}，则f(x)在上是减函数的概率为( )
A. 12 B. 34 C. 16 D. 0
9. 有一种“棒打老虎”游戏．游戏由两个人同时喊出“棒子，老虎，鸡，虫”其中之一，规定：棒子胜老虎，老虎胜鸡，鸡胜虫，虫胜棒子，其余情况不分胜负．甲乙两人进行一次这样的游戏，则甲胜乙的概率为( )
A. 18 B. 14 C. 13 D. 12
10. 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，两次点数互不影响，设三条线段的长分别为a，b和5，求这三条线段能围成等腰三角形(含等边三角形)的概率为( )
A. 736 B. 1136 C. 49 D. 718
11. 在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是( )
A. 抽到第一组与抽到第二组 B. 抽到第一组与抽到男学生
C. 抽到女学生与抽到班干部 D. 抽到班干部与抽到学习标兵
12. 如果事件A，B互斥，且A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A. A+B是必然事件 B. A+B是必然事件
C. A与B一定互斥 D. A与B一定不互斥
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为 ．
14. 国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ．
15. 已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
16. 已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)=0.3，P(B)=0.6，P(C)=0.2，则P(A)= ，P(A⋃B⋃C)= ．
17. 已知向量a=(x,−1)，b=(3,y)，其中x随机选自集合{−1,1，3}，y随机选自集合{1,3，9}。则满足a // b的概率为 ;满足a⊥b的概率为 ．
18. 一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A={摸出黑球}，事件B={摸出绿球}，事件C={摸出红球}，则P(B)= ，P(AUC)=
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
19. 某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人．
(1)根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)；
(2)现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率．
20. 某班数学兴趣小组有男生3名，分别记为a1，a2，a3，女生2名，分别记为b1，b2，现从中任选2人去参加校数学竞赛．
(1)请写出所有可能的结果;
(2)求参赛学生中恰有1名男生的概率;
(3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．
21. 已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．
(1)写出所有的基本事件；
(2)求两个球中恰有一个黑球的概率；
(3)求两个球中至少有一个黑球的概率．
22. 为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班．
(Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
(Ⅱ)若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．
23. 某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；
(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率；
(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．
列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．
【解答】
解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，
取法总数为：
(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)共15种．
其中只有一个是小明的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小明输入一次密码能够成功开机的概率是115．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果．
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题．
【解答】
解：由题意，对立事件的概率和为1，
∵事件A={抽到一等品}，且 P(A)=0.65，
∴事件“抽到的不是一等品”的概率为
P=1−P(A)=1−0.65=0.35．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用，属于拔高题．
采用列举法可得总的情况有15个，满足要求的只有3个，根据概率公式即可得到答案．
【解答】
解：在大于4且不超过16的偶数中6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，
其中，可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10，14，16．
从大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数的所有情况有：(6,8)，(6,10)，(6,12)，(6,14)，(6,16)，(8,10)，(8,12)，(8,14)，(8,16)，(10,12)，(10,14)，(10,16)，(12,14)，(12,16)，(14,16)，共15种．
其中两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的情况有(10,14)，(10,16)，(14,16)，共3种．
所以由古典概型得两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为P=315=15，
故选 D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，属拔高题．
总的事件个数9个，列举出甲或乙胜的情况，利用古典概型的概率公式计算．
【解答】
解：甲、乙两人猜拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，共有3×3=9种可能，
若甲猜10，甲胜的情况有：甲用手出0，乙用手出10；或甲用手出5，乙用手出5；甲用手出10，乙用手出0；共3种，
则甲胜的概率为39=13；
若乙猜15时，乙胜的情况有：甲用手出5，乙用手出10；甲用手出10，乙用手出5；共2种，
乙胜的概率为29；
∴乙<甲．
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，考查了运算求解能力，属于基础题．
先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．
【解答】
解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：
{(甲、乙)，(丙、丁)}，{(甲、丙)，(乙、丁)}，{(甲、丁)，(乙、丙)}，
所以分别参加两项活动有6种情况；
因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：{(甲、丁)，(乙、丙)}，
所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为P=26=13，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查事件A的对立事件的概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
推导出P(A)=P(A∪B)−P(B)=0.7−0.2=0.5，由此能求出P(A−).
【解答】
解：随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(B)=0.2，
∴P(A)=P(A∪B)−P(B)=0.7−0.2=0.5，
∴P(A−)=1−P(A)=1−0.5=0.5．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
逐一检验各个选项，找出错误的命题，从而得出结论．
本题主要考查随机事件的定义，事件间的包含关系，属于基础题．
【解答】
解：由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机、只有一弹击中飞机，故有A⫋D，故选项A正确．
由于事件B、D是互斥事件，故B∩D=⌀，故选项B正确．
再由A∪C包括两种情况：两次都击中飞机，恰有一次击中飞机；与D的情况一致，所以A∪C=D成立，可得选项C正确．
，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故选项D不正确，
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的单调性，古典概型的计算与应用，属于中档题．
根据题意，可得：a,b的所有可能情况为2,1，2,3，4,1，4,3，事件A包含的情况有 2,1，4,1，4,3，即可得结果．
【解答】
解：a,b的所有可能情况为2,1，2,3，4,1，4,3，共4种，
记事件A为“f(x)在上是减函数”，
由条件知f(x)的图象开口向上，对称轴是x=−ba，
若f(x)在上是减函数，
则−ba⩾−1，即b⩽a，
所以事件A包含的情况有2,1，4,1，4,3，共3种，
所以P=34．
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用古典概型计算概率，属于基础题．
由题意列出所有的可能结果，找出甲胜乙包含的情况，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】
解：由题意列出所有的可能结果为(棒子，棒子)，(棒子，老虎)，(棒子，鸡)，(棒子，虫)，(老虎，棒子)，(老虎，老虎)，(老虎，鸡)，(老虎，虫)，(鸡，棒子)(鸡，老虎)，(鸡，鸡)，(鸡，虫)，(虫，棒子)，(虫，老虎)(虫，鸡)，(虫，虫)共16个，
甲胜乙包含(棒子，老虎)，(老虎，鸡)，(鸡，虫)，(虫，棒子)共4个，
故所求概率为P=416=14．
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查古典概型、列举法等基础知识，属于中档题．
先后2次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a，b，利用列举法求出(a,b)有36种，满足条件a，b，5的值分别作为三条线段的长，利用列举法求出三条线段能围成等腰三角形共有14种，由此能求出三条线段能围成等腰三角形的概率．
【解答】
解：先后2次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a，b，则(a,b)有36种，分别为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
满足条件a，b，5的值分别作为三条线段的长，
三条线段能围成等腰三角形共有14种，分别为：
(1,5)，(5,1)，(2,5)，(5,2)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，
(5,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(3,3)，(4,4)，(6,6)，
所以三条线段能围成等腰三角形的概率p=1436=718．
故选：D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查各组事件都是基本事件的判断，考查基本事件不能同时发生的性质等基础知识，是基础题．
利用基本事件不能同时发生的性质进行判断．
【解答】
解：在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确;
在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误;
在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误;
在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对互斥事件、对立事件的理解，属基础题．
由事件A、B互斥的定义判断B正确．A、C不能确定，而D中当B=A时，A与B互斥．
【解答】
解：由互斥事件的定义，A、B互斥即A与B不能同时发生，
则A+B是必然事件，故B正确．
而D中当B为A时，A与B互斥，故D错误．
A和C可举反例，如在抛掷骰子一次试验中，
A表示向上数字为1，B表示向上数字为2，事件A，B互斥，
A+B不是必然事件且A与B不互斥．
故选B．
13.【答案】35
【解析】
【分析】
本题主要考查对立事件的概率，属于中档题．
在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率即可．
【解答】
解：设罚球的命中的概率为P，
由两次罚球中至多命中一次的概率为1625，
得1−P2=1625，解得P=35，
故答案为35．
14.【答案】35
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率以及互斥事件概率的求解，属于中档题．
设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，
则A，B，C相互独立且P(A)=13，P(B)=14，P(C)=15，至少有1人去北京旅游的概率为：
1−P(ABC)，通过相互独立事件同时发生的概率公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，
则A，B，C相互独立且P(A)=13，P(B)=14，P(C)=15，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：
1−P(ABC)=1−P(A)⋅P(B)⋅P(C)=1−(1−13)×(1−14)×(1−15)=1−25=35．
15.【答案】0.2
【解析】
【分析】
本题考查对立事件的概率，以及互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则A，B，C三个事件互斥，D与A+B+C对立，可得结论．
【解答】
解：设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，
“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，
则A，B，C三个事件互斥，D与A+B+C对立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，P(C)=0.1，
所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8，
所以P(D)=1−0.8=0.2．
故答案为0.2．
16.【答案】0.7
0.9
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件的概率计算，属于基础题．
由已知三个事件A，B，C两两互斥，代入公式PA∪B∪C=PA+PB+PC即可得到答案．
【解答】
P(A)=1−P(A)=0.7，
∵P(B)=0.6，∴P(B)=1−PB=0.4，
又事件A，B，C两两互斥，且P(A)=0.3，P(C)=0.2，
∴PA∪B∪C=PA+PB+PC=0.3+0.4+0.2=0.9；
故答案为：0.7 0.9．
17.【答案】19
29
【解析】
【分析】
本题考查向量平行与垂直的坐标运算，难度一般．
通过平行或垂直找到x，y的关系即可求解．
【解答】
解：向量a=(x,−1),b=(3,y),则a//b时xy+3=0，则对应的x，y的值为x=−1y=3，a⊥b时3x−y=0，则对应的的值为x=1y=3或x=3y=9，
则a//b的概率为13×3=19；a⊥b的概率为23×3=29
故答案为19 ；29．
18.【答案】417
1317
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
直接根据概率公式计算即可．
【解答】
解：因为球的总个数为5+4+8=17个，
所以P(B)=417，P(A∪C)=5+817=1317，
故答案为417，1317.
19.【答案】解：(1)依题意10×0.002+0.008+0.014+a+b+0.015+0.01+0.005=1，
得a+b=0.046．
又[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人，
故1000(b−a)=6，
解得a=0.020，b=0.026，
平均数为：
75×0.02+85×0.08+95×0.14+105×0.2+115×0.26
+125×0.15+135×0.1+145×0.05=112；
(2)设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A
由题意，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，
在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)
(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,b1)，(a2,b2)，
(a3,a4)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a4,b1)，(a4,b2)，(b1,b2)共15种，
抽取的2名同学的分数恰在同一组内的结果有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，
(a2,a3)，(a2,a4)，(a3,a4)，(b1,b2)，共7种，
所以P(A)=715，抽取的2名同学的分数恰在同一组内的概率为715．
【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数和古典概型的计算与应用，是中档题．
(1)依题意a+b=0.046，1000(b−a)=6，可得a、b的值，由频率分布直方图可得平均数；
(2)设“抽取的2名同学的分数在同一组内”为事件A，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，先编号由枚举法得出基本事件，由古典概型公式可得结果．
20.【答案】解：(1)所有可能的结果为(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，(b1,b2)，共10种．
(2)用A表示事件“参赛学生中恰有1名男生”，则事件A包含的基本事件有(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，共6个，故P(A)=610=0.6．
(3)用B表示事件“参赛学生中至少有1名男生”，则事件B包含的基本事件有(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，共9个，故P(B)=910=0.9．
【解析】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
(1)任选2名学生去参加校数学竞赛，利用列举法能写出所有可能的结果;
(2)参赛学生中恰有一名男生，包含的基本事件的情况为6种，由此能求出参赛学生中恰有一名男生的概率;
(3)参赛学生中至少有一名男生，包含的基本事件的情况为9种，由此能求出参赛学生中至少有一名男生的概率．
21.【答案】解：(1)以有序实数对表示摸球的结果，列举如下： (A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)．
(2)记“两个球中恰有一个黑球”为事件M，则事件M包括(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)共6种情况，所以P(M)=610=35．
(3)记“两个球中至少有一个黑球”为事件N，
则事件N的对立事件N为“两个球中没有黑球”，
易知P(N)=110，
所以P(N)=1−P(N)=1−110=910．
【解析】本题考查基本事件、古典概型的概率公式、以及对立事件概率的应用，属于基础题．
(1)以有序实数对表示摸球的结果，用列举写出所有的基本事件；
(2)运用列举法以及古典概型的概率公式求解即可得到所求概率；
(3)记“两个球中至少有一个黑球”为事件N，先求出P(N)=110，再根据对立事件的概率公式求解，即可得到答案．
22.【答案】解：(Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12：6：18=2：1：3，
∴甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例分别为26，16，36，
所以甲学校抽取教学班数为6×26个，乙学校抽取教学班数为6×16个，丙学校抽取教学班数为6×36个，
所以分别抽取的教学班个数为2，1，3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A1，A2，B1，C1，C2，C3，
则从6个教学班中随机抽取2个教学班的样本空间为：Ω={(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A2,C3)，(B1,C1)，(B1,C2)，(B1,C3)，(C1,C2)，(C1,C3)，(C2,C3)}，其中共15个样本点，
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D
事件D={(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A2,C3)}，n(D)=9．
所以 P(D)=nDnΩ=915=35．
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为35．
【解析】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
(Ⅰ)先求出甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，用样本容量乘以甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，即得从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A1，A2，B1，C1，C2，C3，把从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件一一列举出来，找出其中至少有1个来自甲学校的基本事件，即可求出这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．
23.【答案】解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为660=110．
(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,
BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab，
其中恰有1名女同学的结果有8种：
Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,，
根据古典概率计算公式，
从6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率为P=815
(3)这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率1−115=1415．
【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于中档题．
(1)首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求概率;
(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，列出所有满足的情况，根据古典概型的计算方式求解;
(3)利用对立事件来求解概率，更简单．
10.1随机事件与概率同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 小明打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M,I,N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. 18 C. D.
2. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.3
3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：10=5+5=3+7(其中3+7与7+3算同一种方法)，在大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数，则两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为( )
A. 45 B. 35 C. 12 D. 15
4. 甲、乙两人每人可以用手出0，5，10三种数字，同时可以喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时为胜，若甲喊10，乙喊15，则( )
A. 甲胜的概率大 B. 乙胜的概率大
C. 甲、乙胜的概率一样大 D. 不能确定
5. 现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A. 12 B. 13 C. 16 D. 112
6. 已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(B)=0.2，则P(A)=( )
A. 0.5 B. 0.1 C. 0.7 D. 0.8
7. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A. A⊆D B. B∩D=⌀ C. A∪C=D D. A∪B=B∪D
8. 已知函数f(x)=12ax2+bx+1，其中a∈{2,4}，b∈{1,3}，则f(x)在上是减函数的概率为( )
A. 12 B. 34 C. 16 D. 0
9. 有一种“棒打老虎”游戏．游戏由两个人同时喊出“棒子，老虎，鸡，虫”其中之一，规定：棒子胜老虎，老虎胜鸡，鸡胜虫，虫胜棒子，其余情况不分胜负．甲乙两人进行一次这样的游戏，则甲胜乙的概率为( )
A. 18 B. 14 C. 13 D. 12
10. 先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，两次点数互不影响，设三条线段的长分别为a，b和5，求这三条线段能围成等腰三角形(含等边三角形)的概率为( )
A. 736 B. 1136 C. 49 D. 718
11. 在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是( )
A. 抽到第一组与抽到第二组 B. 抽到第一组与抽到男学生
C. 抽到女学生与抽到班干部 D. 抽到班干部与抽到学习标兵
12. 如果事件A，B互斥，且A，B分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A. A+B是必然事件 B. A+B是必然事件
C. A与B一定互斥 D. A与B一定不互斥
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为 ．
14. 国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ．
15. 已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
16. 已知三个事件A，B，C两两互斥且P(A)=0.3，P(B)=0.6，P(C)=0.2，则P(A)= ，P(A⋃B⋃C)= ．
17. 已知向量a=(x,−1)，b=(3,y)，其中x随机选自集合{−1,1，3}，y随机选自集合{1,3，9}。则满足a // b的概率为 ;满足a⊥b的概率为 ．
18. 一个袋子中有5个红球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件A={摸出黑球}，事件B={摸出绿球}，事件C={摸出红球}，则P(B)= ，P(AUC)=
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
19. 某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试．全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人．
(1)根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)；
(2)现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率．
20. 某班数学兴趣小组有男生3名，分别记为a1，a2，a3，女生2名，分别记为b1，b2，现从中任选2人去参加校数学竞赛．
(1)请写出所有可能的结果;
(2)求参赛学生中恰有1名男生的概率;
(3)求参赛学生中至少有1名男生的概率．
21. 已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．
(1)写出所有的基本事件；
(2)求两个球中恰有一个黑球的概率；
(3)求两个球中至少有一个黑球的概率．
22. 为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班．
(Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
(Ⅱ)若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．
23. 某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；
(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率；
(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．
列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．
【解答】
解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，
取法总数为：
(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)共15种．
其中只有一个是小明的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小明输入一次密码能够成功开机的概率是115．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果．
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题．
【解答】
解：由题意，对立事件的概率和为1，
∵事件A={抽到一等品}，且 P(A)=0.65，
∴事件“抽到的不是一等品”的概率为
P=1−P(A)=1−0.65=0.35．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型的计算与应用，属于拔高题．
采用列举法可得总的情况有15个，满足要求的只有3个，根据概率公式即可得到答案．
【解答】
解：在大于4且不超过16的偶数中6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，
其中，可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10，14，16．
从大于4且不超过16的偶数中，随机选取两个不同的偶数的所有情况有：(6,8)，(6,10)，(6,12)，(6,14)，(6,16)，(8,10)，(8,12)，(8,14)，(8,16)，(10,12)，(10,14)，(10,16)，(12,14)，(12,16)，(14,16)，共15种．
其中两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的情况有(10,14)，(10,16)，(14,16)，共3种．
所以由古典概型得两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为P=315=15，
故选 D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查古典概型的计算，属拔高题．
总的事件个数9个，列举出甲或乙胜的情况，利用古典概型的概率公式计算．
【解答】
解：甲、乙两人猜拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，共有3×3=9种可能，
若甲猜10，甲胜的情况有：甲用手出0，乙用手出10；或甲用手出5，乙用手出5；甲用手出10，乙用手出0；共3种，
则甲胜的概率为39=13；
若乙猜15时，乙胜的情况有：甲用手出5，乙用手出10；甲用手出10，乙用手出5；共2种，
乙胜的概率为29；
∴乙<甲．
故选A．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，考查了运算求解能力，属于基础题．
先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．
【解答】
解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：
{(甲、乙)，(丙、丁)}，{(甲、丙)，(乙、丁)}，{(甲、丁)，(乙、丙)}，
所以分别参加两项活动有6种情况；
因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：{(甲、丁)，(乙、丙)}，
所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为P=26=13，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查事件A的对立事件的概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
推导出P(A)=P(A∪B)−P(B)=0.7−0.2=0.5，由此能求出P(A−).
【解答】
解：随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(B)=0.2，
∴P(A)=P(A∪B)−P(B)=0.7−0.2=0.5，
∴P(A−)=1−P(A)=1−0.5=0.5．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
逐一检验各个选项，找出错误的命题，从而得出结论．
本题主要考查随机事件的定义，事件间的包含关系，属于基础题．
【解答】
解：由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机、只有一弹击中飞机，故有A⫋D，故选项A正确．
由于事件B、D是互斥事件，故B∩D=⌀，故选项B正确．
再由A∪C包括两种情况：两次都击中飞机，恰有一次击中飞机；与D的情况一致，所以A∪C=D成立，可得选项C正确．
，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故选项D不正确，
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的单调性，古典概型的计算与应用，属于中档题．
根据题意，可得：a,b的所有可能情况为2,1，2,3，4,1，4,3，事件A包含的情况有 2,1，4,1，4,3，即可得结果．
【解答】
解：a,b的所有可能情况为2,1，2,3，4,1，4,3，共4种，
记事件A为“f(x)在上是减函数”，
由条件知f(x)的图象开口向上，对称轴是x=−ba，
若f(x)在上是减函数，
则−ba⩾−1，即b⩽a，
所以事件A包含的情况有2,1，4,1，4,3，共3种，
所以P=34．
故选B．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用古典概型计算概率，属于基础题．
由题意列出所有的可能结果，找出甲胜乙包含的情况，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】
解：由题意列出所有的可能结果为(棒子，棒子)，(棒子，老虎)，(棒子，鸡)，(棒子，虫)，(老虎，棒子)，(老虎，老虎)，(老虎，鸡)，(老虎，虫)，(鸡，棒子)(鸡，老虎)，(鸡，鸡)，(鸡，虫)，(虫，棒子)，(虫，老虎)(虫，鸡)，(虫，虫)共16个，
甲胜乙包含(棒子，老虎)，(老虎，鸡)，(鸡，虫)，(虫，棒子)共4个，
故所求概率为P=416=14．
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查古典概型、列举法等基础知识，属于中档题．
先后2次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a，b，利用列举法求出(a,b)有36种，满足条件a，b，5的值分别作为三条线段的长，利用列举法求出三条线段能围成等腰三角形共有14种，由此能求出三条线段能围成等腰三角形的概率．
【解答】
解：先后2次抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a，b，则(a,b)有36种，分别为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
满足条件a，b，5的值分别作为三条线段的长，
三条线段能围成等腰三角形共有14种，分别为：
(1,5)，(5,1)，(2,5)，(5,2)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，
(5,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(3,3)，(4,4)，(6,6)，
所以三条线段能围成等腰三角形的概率p=1436=718．
故选：D．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查各组事件都是基本事件的判断，考查基本事件不能同时发生的性质等基础知识，是基础题．
利用基本事件不能同时发生的性质进行判断．
【解答】
解：在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确;
在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误;
在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误;
在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对互斥事件、对立事件的理解，属基础题．
由事件A、B互斥的定义判断B正确．A、C不能确定，而D中当B=A时，A与B互斥．
【解答】
解：由互斥事件的定义，A、B互斥即A与B不能同时发生，
则A+B是必然事件，故B正确．
而D中当B为A时，A与B互斥，故D错误．
A和C可举反例，如在抛掷骰子一次试验中，
A表示向上数字为1，B表示向上数字为2，事件A，B互斥，
A+B不是必然事件且A与B不互斥．
故选B．
13.【答案】35
【解析】
【分析】
本题主要考查对立事件的概率，属于中档题．
在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率即可．
【解答】
解：设罚球的命中的概率为P，
由两次罚球中至多命中一次的概率为1625，
得1−P2=1625，解得P=35，
故答案为35．
14.【答案】35
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件同时发生的概率以及互斥事件概率的求解，属于中档题．
设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，
则A，B，C相互独立且P(A)=13，P(B)=14，P(C)=15，至少有1人去北京旅游的概率为：
1−P(ABC)，通过相互独立事件同时发生的概率公式计算，即可得到答案．
【解答】
解：设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，
则A，B，C相互独立且P(A)=13，P(B)=14，P(C)=15，
∴至少有1人去北京旅游的概率为：
1−P(ABC)=1−P(A)⋅P(B)⋅P(C)=1−(1−13)×(1−14)×(1−15)=1−25=35．
15.【答案】0.2
【解析】
【分析】
本题考查对立事件的概率，以及互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则A，B，C三个事件互斥，D与A+B+C对立，可得结论．
【解答】
解：设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，
“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，
则A，B，C三个事件互斥，D与A+B+C对立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，P(C)=0.1，
所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8，
所以P(D)=1−0.8=0.2．
故答案为0.2．
16.【答案】0.7
0.9
【解析】
【分析】
本题考查互斥事件的概率计算，属于基础题．
由已知三个事件A，B，C两两互斥，代入公式PA∪B∪C=PA+PB+PC即可得到答案．
【解答】
P(A)=1−P(A)=0.7，
∵P(B)=0.6，∴P(B)=1−PB=0.4，
又事件A，B，C两两互斥，且P(A)=0.3，P(C)=0.2，
∴PA∪B∪C=PA+PB+PC=0.3+0.4+0.2=0.9；
故答案为：0.7 0.9．
17.【答案】19
29
【解析】
【分析】
本题考查向量平行与垂直的坐标运算，难度一般．
通过平行或垂直找到x，y的关系即可求解．
【解答】
解：向量a=(x,−1),b=(3,y),则a//b时xy+3=0，则对应的x，y的值为x=−1y=3，a⊥b时3x−y=0，则对应的的值为x=1y=3或x=3y=9，
则a//b的概率为13×3=19；a⊥b的概率为23×3=29
故答案为19 ；29．
18.【答案】417
1317
【解析】
【分析】
本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
直接根据概率公式计算即可．
【解答】
解：因为球的总个数为5+4+8=17个，
所以P(B)=417，P(A∪C)=5+817=1317，
故答案为417，1317.
19.【答案】解：(1)依题意10×0.002+0.008+0.014+a+b+0.015+0.01+0.005=1，
得a+b=0.046．
又[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人，
故1000(b−a)=6，
解得a=0.020，b=0.026，
平均数为：
75×0.02+85×0.08+95×0.14+105×0.2+115×0.26
+125×0.15+135×0.1+145×0.05=112；
(2)设“抽取的2名同学的分数恰在同一组内”为事件A
由题意，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，
在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)
(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,a4)，(a2,b1)，(a2,b2)，
(a3,a4)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a4,b1)，(a4,b2)，(b1,b2)共15种，
抽取的2名同学的分数恰在同一组内的结果有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，
(a2,a3)，(a2,a4)，(a3,a4)，(b1,b2)，共7种，
所以P(A)=715，抽取的2名同学的分数恰在同一组内的概率为715．
【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数和古典概型的计算与应用，是中档题．
(1)依题意a+b=0.046，1000(b−a)=6，可得a、b的值，由频率分布直方图可得平均数；
(2)设“抽取的2名同学的分数在同一组内”为事件A，由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，在分数为[140,150]的同学中抽取2人，先编号由枚举法得出基本事件，由古典概型公式可得结果．
20.【答案】解：(1)所有可能的结果为(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，(b1,b2)，共10种．
(2)用A表示事件“参赛学生中恰有1名男生”，则事件A包含的基本事件有(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，共6个，故P(A)=610=0.6．
(3)用B表示事件“参赛学生中至少有1名男生”，则事件B包含的基本事件有(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，共9个，故P(B)=910=0.9．
【解析】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
(1)任选2名学生去参加校数学竞赛，利用列举法能写出所有可能的结果;
(2)参赛学生中恰有一名男生，包含的基本事件的情况为6种，由此能求出参赛学生中恰有一名男生的概率;
(3)参赛学生中至少有一名男生，包含的基本事件的情况为9种，由此能求出参赛学生中至少有一名男生的概率．
21.【答案】解：(1)以有序实数对表示摸球的结果，列举如下： (A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)，(a,b)．
(2)记“两个球中恰有一个黑球”为事件M，则事件M包括(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(C,a)，(C,b)共6种情况，所以P(M)=610=35．
(3)记“两个球中至少有一个黑球”为事件N，
则事件N的对立事件N为“两个球中没有黑球”，
易知P(N)=110，
所以P(N)=1−P(N)=1−110=910．
【解析】本题考查基本事件、古典概型的概率公式、以及对立事件概率的应用，属于基础题．
(1)以有序实数对表示摸球的结果，用列举写出所有的基本事件；
(2)运用列举法以及古典概型的概率公式求解即可得到所求概率；
(3)记“两个球中至少有一个黑球”为事件N，先求出P(N)=110，再根据对立事件的概率公式求解，即可得到答案．
22.【答案】解：(Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12：6：18=2：1：3，
∴甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例分别为26，16，36，
所以甲学校抽取教学班数为6×26个，乙学校抽取教学班数为6×16个，丙学校抽取教学班数为6×36个，
所以分别抽取的教学班个数为2，1，3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A1，A2，B1，C1，C2，C3，
则从6个教学班中随机抽取2个教学班的样本空间为：Ω={(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A2,C3)，(B1,C1)，(B1,C2)，(B1,C3)，(C1,C2)，(C1,C3)，(C2,C3)}，其中共15个样本点，
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D
事件D={(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,C1)，(A1,C2)，(A1,C3)，(A2,B1)，(A2,C1)，(A2,C2)，(A2,C3)}，n(D)=9．
所以 P(D)=nDnΩ=915=35．
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为35．
【解析】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．
(Ⅰ)先求出甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，用样本容量乘以甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，即得从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A1，A2，B1，C1，C2，C3，把从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件一一列举出来，找出其中至少有1个来自甲学校的基本事件，即可求出这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．
23.【答案】解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为660=110．
(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,
BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab，
其中恰有1名女同学的结果有8种：
Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,，
根据古典概率计算公式，
从6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率为P=815
(3)这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率1−115=1415．
【解析】本题主要考查了随机事件的发生，利用古典概型的计算公式进行求解，属于中档题．
(1)首先找到该班全部同学的数量和参加摄影社的同学的数量，然后计算比值即为所求概率;
(2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参加摄影社的女同学，列出所有满足的情况，根据古典概型的计算方式求解;
(3)利用对立事件来求解概率，更简单．
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