人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性课后复习题

10.2事件的相互独立性同步练习人教 A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束设各局比赛相互之间没有影响，现已知前两局双方各胜一局，则甲队获得这场比赛胜利的概率为         

A.  B.  C.  D.

2. 张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是，做对两道题的概率是，则预估做对第二道题的概率是

A.  B.  C.  D.

3. 某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，b，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为   

A.  B.  C.  D.

4. 甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是

A.  B.  C.  D.

5. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为   

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是，那么此系统的可靠性是
    

A.  B.  C.  D.

7. ，，三个元件正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的如图，将，两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是 

A.  B.  C.  D.

8. 在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为 

A.  B.  C.  D. 1

10. 若，，，则事件A与B的关系是    

A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B相互斥又独立

11. 甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏球的概率为，则在比分为后甲先发球的情况下，甲以赢下此局的概率为   

A.  B.  C.  D.

12. 坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用表示第一次取得白球，表示第二次取得白球，则和是

A. 互斥事件 B. 相互独立事件
C. 对立事件 D. 不相互独立的事件

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则          ．
14. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，每个开关闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是          ．
    
     

15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于          

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知A，B是相互独立事件，且，，则          ；          ．
17. 在同一时间内，两个气象台预报天气准确的概率分别为，，两个气象台预报准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一个气象台预报准确的概率为          ，仅有一个气象台预报准确的概率为          ．
18. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次命中目标得2分，未命中目标得0分若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为          ，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．

求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率．






 

20. 有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：

Ⅰ人都未解决的概率；

Ⅱ问题得到解决的概率．






 

21. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
    投资股市：

购买基金：

当时，求q的值

已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．






 

22. 某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析经统计某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．
    
    估计该班级的平均分
    经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格高校T的“强基计划”校考分为两轮第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，A，B，C的概率分别为，，，总分不超过690分的同学在每科笔试中取得，A，B，C的概率分别为，，，进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校T提前录取若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为
    ，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分求
    总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率
    该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：

累计负两场者被淘汰比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为．

求甲连胜四场的概率

求需要进行第五场比赛的概率

求丙最终获胜的概率．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．
甲队获得这场比赛胜利的情况为：第3、4局甲连胜两局比赛结束，或者甲在3、4局胜一负一，第五局取胜比赛也结束，由此可计算甲队获胜的概率．

【解答】

解：因为前两局双方各胜一局，所以第3、4局甲连胜两局比赛结束，或者甲在3、4局胜一负一，第五局取胜比赛也结束．
甲第3、4局连胜两局的概率是
甲在3、4局胜一负一第五局取胜，可以分为：第三局胜第四局负第五局胜，或者第三局负第四局胜第五局胜，
其概率为，
所以甲队获得这场比赛胜利的概率为，

故选C．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查独立事件同时发生的概率，属于基础题．
根据独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可．
 

【解答】

解：设事件表示“做对第i道题”，，相互独立，
由已知得：，，
由，
解得．
故选B．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，互斥事件与对立事件，属于中档题．
根据题意得到，进而得到即可．

【解答】

解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则，
所以，
所以，
所以该同学一个社团都不进入的概率：

．
故选D．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．
由题意可得，甲在前2个路口没有遇到红灯，概率都是，第三个路口遇到红灯，概率等于，根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．

【解答】

解：由题意可得甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是，
那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是，
故选C．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，停车一次即为事件，根据相互独立事件同时发生的概率公式可求解．

【解答】

解：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，
则，，，且A，B，C，  ，  ， 彼此相互独立．
停车一次即为事件，
故所求概率为

．
故选D．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查并联电路和串联电路的性质、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，属于中档题．
利用并联电路和串联电路的性质，结合相互独立事件概率乘法公式，能求出此系统的可靠性．

【解答】

解：如图所示，1，2，3表示三个开关，

在某段时间内它们每个正常工作的概率都是，
那么此系统的可靠性是：．
故选：B．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件与对立事件，属于中档题．
记正常工作为事件A，正常工作为事件B，正常工作为事件C，则，，电路不发生故障，即正常工作，且，至少有一个正常工作，，至少有一个正常工作的概率，从而可得电路不发生故障的概率．

【解答】

解：记正常工作为事件A，正常工作为事件B，正常工作为事件C，
则，，．
电路不发生故障，即正常工作，且，至少有一个正常工作．
，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率．
故选A．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查学生分析问题的能力，属于中档题．
前两个盒子为串联线路，求出它们不畅通的概率，利用对立事件的概率求出前3个盒子畅通的概率，后2个盒子为并联线路，求出它们畅通的概率，前3个盒子和后2个盒子又是串联线路，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求电路畅通的概率．

【解答】

解：前两个盒子为串联线路，畅通的概率为，所以不畅通的概率为，
则前三个盒子畅通的概率为 ，
后两个盒子畅通的概率为，
所以当开关合上时，电路畅通的概率是，
故选D．

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查对立事件和相互独立事件的概率，属于基础题．
先求出他们都不能译出的概率，用1减去此值，即得该密码被破译的概率．  
【解答】
解：他们不能译出的概率分别为，，
则他们都不能译出的概率为，
故该密码被破译的概率是，
故选B．  

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的判断，属于基础题．
先求得，然后通过计算得到，从而判断出事件相互独立．

【解答】

解：，
．
事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．

故选：C．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局，分两种情况：后四球胜方依次为甲乙甲甲，后四球胜方依次为乙甲甲甲，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出所求事件概率．

【解答】

解：在比分为10：10后甲先发球的情况下，甲以13：11赢下此局分两种情况：
后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为；
后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为
所以，所求事件概率为：．
故选：C．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件、互斥事件与独立事件的概念，关键是对相关概念的理解与应用属于基础题．

发生的结果对发生的结果有影响，根据相互独立事件的定义可得结果．

【解答】

解：．

若发生了，；若不发生，，

发生的结果对发生的结果有影响，

与不是相互独立事件．

故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是互斥事件与对立事件，相互独立事件同时发生的概率等知识．
已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都没能进入的概率为，由此求解即可．

【解答】

解：由题知三个社团都能进入的概率为，
即，
又因为至少进入一个社团的概率为，
所以一个社团都没能进入的概率为，
即，
由可得．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，等可能事件的概率，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
先求出开关A、B至少一个断开的概率和开关E、F至少一个断开的概率，结合开关C断开的概率和开关D断开的概率，求出灯不亮的概率为，用间接法可求得灯亮的概率．

【解答】

解：开关C断开的概率为，开关D断开的概率为，
开关A、B至少一个断开的概率为，

开关E、F至少一个断开的概率为，
故灯不亮的概率为，故灯亮的概率为，

故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了概率的应用根据题意，分析可得，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确；又有每个问题的回答结果相互独立，结合相互独立事件的概率乘法公式，计算可得答案属于基础题．

【解答】

解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
可由事件A与事件B相互独立，得出结论．

【解答】

解：、B是相互独立事件，且，， 

， 
，

．
故答案为： 

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题。

【解答】

解：至少有一个气象台预报准确的概率为，
仅有一个气象台预报准确的概率为．
故答案为，

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率计算，对立事件的概率，属于中档题．
由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，由相互独立事件的概率公式可得关于p的方程，解方程即可得p，然后根据对立事件的概率公式求解两人各射击一次得分之和不少于2的概率．

【解答】

解：设“甲射击一次，命中目标”为事件A，“乙射击一次，命中目标”为事件B，
则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件，
则，，，，
依题意得 ，解得．
得分之和不少于2的对立事件为得分之和为0，

故所求概率为．
故答案为；．

19.【答案】解：设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件，“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件，则，．

设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”．

则，

，．

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为；

设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则，，
．

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为．

【解析】本题主要考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查学生数学应用能力，属于中档题．
设出基本事件，利用，，，由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；
设出基本事件，利用，，，计算出答案．
 

20.【答案】解：Ⅰ有一个问题，在半小时内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是，
两人都试图独立地在半小时内解决它，
则两人都未解决的概率．
Ⅱ问题得到解决的对立事件是两人都未解决，
问题得到解决的概率．
 

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
Ⅰ两人都试图独立地在半小时内解决它，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出两人都未解决的概率．
Ⅱ问题得到解决的对立事件是两人都未解决，由此利用对立事件概率计算公式能求出问题得到解决的概率．
 

21.【答案】解：“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，
且三种投资结果相互独立，
．

又，．

记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，
事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则，且A，B相互独立．

由题意可知，．

，．

又，，．

．

【解析】本题考查相互独立的概率的求法，属于中档题．
根据相互独立的概率求法可得出结论；
记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，
事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则，且A，B独立．
 

22.【答案】解：根据频率分布直方图，可知平均分为：
；
总分大于等于680分的同学有人，
由已知，其中有3人总分小于等于690分，2人总分大于690分，
，
总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率
总分高于690分的同学被高校T提前录取的事件为M，总分不超过690分的同学
被高校T提前录取的事件为N，




该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率．
 

【解析】根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，由此能求出平均分；
总分大于等于分的同学有5人，其中有3人小于等于690分，2人大于690分，
利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出总分高于60分的某位同学没有进入第二轮的概率；
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率．
本题考查频率分布直方图的画法、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养．
 

23.【答案】解：甲连胜四场只能是前四场全胜，则．

设甲输掉一场比赛为事件A，乙输掉一场比赛为事件B，丙输掉一场比赛为事件C，

四场比赛能结束为事件N，

则
，

所以需要进行第五场比赛的概率为，

   丙获胜的概率为：

．

【解析】本题考查概率的乘法公式和独立事件的概率公式，属于中档题．
独立事件的概率公式计算即可；
由独立事件和对立事件的概率公式，计算可得答案；
分类讨论求概率，由独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．