人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率优秀学案设计

10.1.2　事件的关系和运算

在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于5}，F＝{出现的点数大于4}，G＝{出现的点数为偶数)，H＝{出现的点数为奇数}．

问题：在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件E与事件F间有什么关系？

知识点　事件的关系和运算

1．包含关系

2．并事件(和事件)

3．交事件(积事件)

4．互斥(互不相容)

5．互为对立

(1)一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？

(2)命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)

[提示]　(1)A＝C∩D．

(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (　　)

(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件． (　　)

(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件． (　　)

[答案]　(1)×　 (2)√　 (3)×

2．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(　　)

A．至多做完3套练习题

B．至多做完2套练习题

C．至多做完4套练习题

D．至少做完3套练习题

B　[至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．]

3．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”

C　[A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C．]

类型1　事件关系的判断

【例1】　对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．

写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}；并判断事件A与事件B的关系．

[解]　依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．

A＝{011,101,110,111}．

B＝{010,011,100,101,110,111}，

所以A⊆B．

包含关系、相等关系的判定

(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似．

(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．

1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)

A．A⊆B　　　　 B．A⊇B

C．A＝B   D．A与B之间没有关系

A　[由事件的包含关系知A⊆B．]

类型2　事件的运算

【例2】　(对接教材P232例6)在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．

1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？

[提示]　事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B中的样本点构成的．

2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？

[提示]　事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B中的样本点构成的．

3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？

[提示]　“事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．

[解]　在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C；事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．

(2)A∩B＝∅， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，

A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．

B∩D＝A4＝{出现点数4}．

B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．

事件间的运算方法

(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

[解]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A．

类型3　互斥事件与对立事件

【例3】　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)B与C；(3)B与D；(4)B与E；(5)A与E．

[解]　(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．

(4)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．

(5)事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生，故A与E是互斥事件．但A与E不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故A与E不是对立事件．

互斥事件、对立事件的判定方法

(1)从发生的角度看

①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；

②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生．即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．

(2)从事件个数的角度看

互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．

3．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B(　　)

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

A　[事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件．]

4．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：

(1)至少有1个白球，都是白球；

(2)至少有1个白球，至少有1个红球；

(3)至少有1个白球，都是红球．

[解]　给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，则A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．

(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B⊆A．即A和B不是互斥事件．

(2)设C＝“至少有一个红球”，

则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，

因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，

所以A和C不互斥．

(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，

因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．

1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是(　　)

A．①　　　B．②④　　　C．③　　　D．①③

C　[从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]

2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)

A．对立事件   B．互斥但不对立事件

C．不可能事件   D．以上说法都不对

B　[因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]

3．(多选题)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是(　　)

A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件

B．B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件

C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件

D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件

BD　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B，D中的说法正确．]

4．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．

②　[①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)事件间的关系有哪些？如何辨析？

(2)互斥事件与对立事件有什么区别和联系？