这是一份人教A版 (2019)必修第二册6.1 平面向量的概念精品导学案及答案，共5页。学案主要包含了学习过程等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】

一、问题导学

预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：

1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3．两个向量（向量的模）能否比较大小？

4．如何判断相等向量或共线向量？向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))是相等向量吗？

二、合作探究

探究点1：

向量的相关概念

例1：给出下列命题：

①若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

②在▱ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))；

③若a＝b，b＝c，则a＝c.

其中所有正确命题的序号为________．

解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．

答案：②③

探究点2：

向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：

（1）eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；

（2）eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东方向上；

（3）eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up6(→))，如图所示．

（2）由于点B在点A正东方向上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up6(→))，如图所示．

（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up6(→))，如图所示．

探究点3：

共线向量与相等向量

例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，在每两点所确定的向量中．

（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

（2）与a共线的向量有哪些？

解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))．

（2）与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))．

互动探究

1．变条件、变问法：本例中若eq \(OC,\s\up6(→))＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．

解：与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))．

2．变问法：本例条件不变，与eq \(AD,\s\up6(→))共线的向量有哪些？

解：与eq \(AD,\s\up6(→))共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))．

三、学习小结

1．向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量．

（2）有向线段

①定义：具有方向的线段．

②三个要素：起点、方向、长度．

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))．

④长度：线段AB的长度也叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|．

（3）向量的表示

■名师点拨

（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．

（2）用有向线段表示向量时，要注意eq \(AB,\s\up6(→))的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．

2．向量的有关概念

（1）向量的模（长度）：向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度（或称模），记作|eq \(AB,\s\up6(→))|．

（2）零向量：长度为0的向量，记作0．

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

3．两个向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．

■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．

（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．

（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

四、精炼反馈

1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量的个数为（）

A．1B．2

C．3D．4

解析：选C.图中与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量为eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(FD,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))共3个．

2．下列结论中正确的是（）

①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；

②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；

③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；

④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|．

A．①③B．②③

C．③④D．②④

解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．

3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量；

（2）与eq \(OB,\s\up6(→))长度相等的向量；

（3）与eq \(DA,\s\up6(→))共线的向量．

解：画出图形，如图所示．

（1）易知BC∥AD，BC＝AD，

所以与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量为eq \(AD,\s\up6(→))．

（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，

所以与eq \(OB,\s\up6(→))长度相等的向量为eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))．

（3）与eq \(DA,\s\up6(→))共线的向量为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))．学习重难点
学习目标
核心素养
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理

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