人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品课时练习

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专题01 平面向量的概念及其运算



知识点一
平面向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二
平面向量的线性运算

1．向量的加法
（1）三角形法则（图甲）：强调向量“首尾相接”

（2）平行四边形法则（图乙）：强调“共起点”
（3）向量加法的运算律
①交换律
②结合律
【点拨】①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．
②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0．
2. 向量减法

【点拨】①向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”．

②如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b.
3. 向量的数乘
（1）
定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度
|λa|＝|λ||a|
方向
λ>0
λa的方向与a的方向相同
λ＝0
λa＝0（零向量！）
λ<0
λa的方向与a的方向相反
（2）几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍．
（3）运算律
设λ、μ为实数，则
(1)λ(μa)＝ (λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．
【点拨】对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量．
4. 向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
知识点三
共线向量定理

1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【点拨】①定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
②定理的另种形式：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0．
2.平面向量共线定理的三个应用

知识点四
平面向量的数量积

1．平面向量的数量积
定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ
规定
零向量与任一向量的数量积为0
投影
|a|cosθ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

2．两个向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，
(1)a⊥b⇔a·b＝0．
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝a2＝|a|2或|a|＝．
(3)|a·b|≤|a||b|．
3．平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ．
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．





考点01 平面向量的有关概念
【典例1】（2022春·山东聊城·高一期中）下列命题中正确的个数是（    ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，
【详解】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，
对于B，向量，则四点共线或，故B错误，
对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，
对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，
故选：A
【典例2】【多选题】（2022·高一单元测试）下列说法中正确的是（    ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】CD
【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；
对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；
对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，可得与向量同向，
又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.
故选：CD.
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(5)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
考点02 平面向量的线性运算
【典例3】（2023秋·北京房山·高一统考期末）在中，D为BC的中点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.
【详解】解：因为中，D为BC的中点,
所以，，
故选：B

【典例4】（2023·高一单元测试）已知，若记，则______．
【答案】
【分析】由向量的线性运算，求解的值.
【详解】，
∴，
则有，
∴.
故答案为：
【总结提升】
1.关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
2.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
3．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
考点03 共线向量定理及其应用
【典例5】（2021·全国·模拟预测）在中，，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
结合图形，根据平面向量的共线定理和向量的线性运算，得出，从而有，最后利用共线向量基本定理的推论得出，即可求出y的值.
【详解】
解：∵，则，
∴，
.∵，，三点共线，所以，
解得：，
故选：A.

【典例6】（2023·高一课时练习）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是________．
①；②；③；④．

【答案】①②④
【分析】根据模长相等的向量、平行向量的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确；
对于②，，，则与反向，，②正确；
对于③，若，则，，
若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示，

此时，，即，③错误；
对于④，三点共线，方向相反，，④正确.
故答案为：①②④.
【典例7】（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据向量的减法运算即得；
（2）根据向量共线定理可得，进而可得，即得；
（3）由题可得，然后根据向量共线定理结合条件即得.
【详解】（1）因为，，
所以；
（2）因为，，，
所以，即，又向量，不共线，
所以，解得，
即的值为；
（3）当时， ，，，
所以，
所以，又有公共点，
所以A，B，C三点共线．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
考点04 单位向量的应用
【典例8】（2023·高一课时练习）已知O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点D满足：，则点D一定在的______线所在直线上．
【答案】角A的平分
【分析】根据分别表示平行于的单位向量，平分求解.
【详解】解：因为，
所以，
而分别表示平行于的单位向量，
所以平分，即平分，
所以点D一定在的角A的平分线所在直线上，
故答案为：角A的平分
【总结提升】
非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量，－是与a反方向的单位向量．
考点05 平面向量的数量积
【典例9】（2022春·吉林长春·高一校考期中）如图，已知平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，若，且，则等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将和都用和表示，然后进行数量积运算可得答案.
【详解】由题意得
， ，
则 .
故选：A.
【典例10】（2023·高一课时练习）在中，，，，则________．
【答案】
【分析】由题得，与的夹角为，结合平面向量数量积公式解决即可.
【详解】由题知，，，，
所以与的夹角为，
所以，
故答案为：.
【总结提升】
求向量的数量积的两个关键点
（1）求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．
（2）若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．
考点06 向量的投影
【典例11】（2023·高一课时练习）已知，，当时，在方向上的投影数量为______；当时，在方向上的数量投影为______；当时，在方向上的数量投影为______．
【答案】          0    
【分析】根据在方向上的投影数量为：代入求解.
【详解】在方向上的投影数量为：
当时或者，所以
当时，所以
当时，所以
故答案为：
【规律方法】
求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可．
考点07 向量的数量积与模的问题
【典例12】（2023·高一课时练习）已知向量与的夹角，，，求
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1）由数量积的定义计算;
(2）把模平方转化为数量积的计算.
【详解】（1）根据数量积的定义可得
（2），
所以
【总结提升】
利用数量积求解长度（模）问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法是：
(1)a＝a·a＝|a|2或|a|＝．
(2) ．
考点08 向量的数量积与夹角问题
【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知非零向量、满足，且，则的形状是（    ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状。
【详解】解：因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由， 的角平分线与垂直，
为等腰三角形，且，
且，
，又，
，
，
三角形为等边三角形．
故选：D．
【典例14】（2023·高一课时练习）已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与夹角的大小．
【答案】
【分析】设夹角为，由向量的垂直建立方程组联立解出、的关系，然后利用夹角公式求解即可.
【详解】因为、都是非零向量，
由与垂直，
则，
即，   ①
由与垂直，
则，
即，   ②
①②得：，  ③
③代入①得：，
设与夹角为，则，
因为，所以，
所以与的夹角为.
【总结提升】
1.应用向量夹角公式cos〈a，b〉＝，要注意涉及到了向量运算和数量运算．
2. 注意应用a⊥b⇔a·b＝0．

1．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2.（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.


一、单选题
1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）如图，在平行四边形中，（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算得.
【详解】由图知，
故选：B.
2．（2022春·陕西渭南·高一渭南高级中学校考阶段练习）下列说法正确的是（  ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
【答案】D
【分析】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.
【详解】若，则或，所以选项A错误；
若，此时 不存在，选项B错误；
若，由，，不一定得到，选项C不正确；
由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.
故选：D.
3.（2023·高一课时练习）对于非零向量与，下列不等式中恒成立的是（    ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】B
【分析】由向量数量积公式，结合，可判断答案.
【详解】设非零向量与的夹角为，则，，
则
故选：
4．（2020·全国·统考高考真题）已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
5．（2023·高一课时练习）已知两个非零向量、满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两边平方，结合数量积的性质化简可得结论.
【详解】因为，所以，
所以，化简可得，又、为非零向量，
故，
故选：B.
6．（2023·高一课时练习）已知在中，若，则是（    ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用平面向量的加法、减法法则以及数量积的运算律即可求解.
【详解】由题可知，
所以，
即,
所以即，
所以，所以，
所以是直角三角形.
故选:A.
二、填空题
7．（2023·高一课时练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为______．
【答案】
【分析】根据则在方向上的投影向量的定义可得
【详解】在方向上的投影向量为，
故答案为：.
8．（2023·高一课时练习）已知，，且与的夹角为，则________．
【答案】
【分析】根据向量数量积的定义可直接求得结果.
【详解】.
故答案为：.
9．（2022·全国·统考高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
10．（2021·全国·高考真题）若向量满足，则_________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴.
故答案为：.
三、解答题
11．（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.

【答案】证明见解析
【分析】用、为一组基底表示出、，即可得到，从而得证.
【详解】证明：设，，
由已知点是的中点，点在上，且，
，

，
、、三点共线.
12．（2023·高一课时练习）已知，．
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若与垂直，求当k为何值时，？
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）由平行向量的定义可知，若，则它们的夹角为或，即可计算；（2）根据平面向量的应用可知将平方即可求得结果；（3）根据与垂直可得，再由可计算出.
【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，；
所以，.
（2）由题意可知，
若，则
，
所以.
（3）由与垂直可得，即；
若，则，
即，得，
所以.
当时，.