高中数学6.1 平面向量的概念优质导学案及答案

正余弦定理

余弦定理

核心知识点一：余弦定理的内容

余弦定理的内容：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他夹角的余弦值的积的两倍，即在中，已知，，，则有

，

，

。

应用范围：已知三角形的两边及任意角度，求第三边。 

核心知识点二：余弦定理的变形

通过余弦定理公式的变型可得：

，

，

。

应用范围：已知三角形的三边，求任意两边的夹角。

例题1  在中，已知，，，求，和边。

解：由余弦定理，得，

，得。

当时，，。

当时，由正弦定理得。，。

总结提升：

已知三角形的两边及任意夹角，解三角形时可能产生多解问题，需要根据题意来分析取值情况。

例题2  在中，已知，，，解此三角形。

解：由余弦定理的推论得，。

同理可求，故。

总结提升：

已知三角形的三边解三角形，利用余弦定理的推论可求出其中两角，再由三角形的内角和定理求解第三个角。

例题3  已知的内角的对边分别为，，求。

解：由已知可得，

由余弦定理得，

整理得，

所以，

又因为，

所以。

总结提升：

用余弦定理进行边角互化时，若有余弦的等式，则通常将角转化为边。

1. 用余弦定理解三角形时，通常为“知三求一”的问题，即：

（1）已知三角形的两边和其中一边的对角。

此种情况的基本解法是利用余弦定理解出第三边，注意判断第三边解的个数，然后再次利用余弦定理的变型或三角形内角和定理解出其余角度。

（2）已知三角形的三边。

此种情况的基本解法是先用余弦定理求出两个角，再用三角形内角和定理，求出第三个角。

注意：利用解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解。

2. 用余弦定理进行边角互化，要充分利用余弦定理及其变形，结合题中的已知条件，构造出等式关系，进而求解相关问题。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 在中，，，，则边上的高等于（　　）

A.       B.       C.      D.

2. 在中，，，，则（　　）

A.       B.       C.       D.

3. 在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的值为（　　）

A.      B.      C.      D.

4. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则（　　）

A.       B.        C.        D.

5. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则（　　）

A.       B.        C.        D.

二、填空题

6. 在中，，，的对边分别为，，，若，，，则        ，         。

7. 中，已知，，且，则________。

8. 如下图，在中，已知点在边上，，，，，则的长为________。

三、解答题

9. 在中，，，所对的边分别为，，，。

（1）求；

（2）若，求。

1. 答案：B 

解析：设边上的高为，

由余弦定理得，

即，，

，。

2. 答案：A

解析：，

，

3. 答案：D

解析：由题意知，，由余弦定理得，把，，代入上式解得。

4. 答案：B

解析：在中，由，

可得，

5. 答案：C

解析：根据题意：若

则有：，

整理得：，

可得：

6. 答案：

解析：由余弦定理得，

所以，即，由，解得 。

7. 答案：

解析：，，

利用余弦定理得到： ，

。

8. 答案：

解析：，，

，， 。

由余弦定理得：

。

9. 答案：，

解析：

（1）由已知可得

由余弦定理得，

整理得，所以，

因为，所以。

（2）由（1）知，

由余弦定理可得。

即

整理得，解得（舍去）。

正弦定理

核心知识点一：正弦定理的内容

正弦定理的内容：

在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即:

,

核心知识点二：正弦定理的常见变型

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）。

例题1  在中，，，，求，，

解：

由正弦定理；

，

， ，。

总结提升：

解决此类问题一般先求第三个角，然后再利用正弦定理求解边长。

例题2  已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答。

（1），，；  （2），，；

（3），，；  （4），，。

解：（1），，，又，所以本题无解

（2），，，， ， ，所以本题无解。

（3），，，，所以本题有一解。

∵，

。

（4），，，，又，，所以本题有两解。

由正弦定理得，。

当时，，。

当时，，，

，，或，，。

总结提升：

在中，已知，和，以点为圆心，以边长为半径画弧，此弧与除去顶点的射线的交点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

例题3  在中，，，试确定的形状。

解：由，

利用正弦定理得，

故 是直角三角形，且，

，，

由可得，

，

为锐角，

，，

为等腰直角三角形。

总结提升：

用正弦定理进行边角互化时，首先要观察题中等式左右两边的正弦的次数是否相等，只有次数相同，才可以利用正弦定理及变型将其转化为边。

1. 用正弦定理解三角形的问题可以分为以下两类：

（1）已知三角形的两角和一边。

此种情况的基本解法是先利用三角形内角和定理解出第三个角，然后利用正弦定理解出其余两边。

（2）已知三角形的两边和其一边的对角。

此种情况的基本解法是首先判断三角形解的个数，然后利用正弦定理和内角和定理解出其余两角，再利用正弦定理的变型解出第三边。

2. 充分利用三角形的内角和定理及。

3. 在涉及边角互化的问题时要注意等式两边的正弦或边的次数相同。

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 在中，已知，，，则等于（　　）

A. 4      B. 4      C. 4        D.

2. 在中，、、所对的边分别为、、，已知，，，则等于（　　）

A. 1　　　　  B. 2　　　　  C. －1　　　　 D.

3. 在中，、、所对的边分别为、、，则满足，的的个数是（　　）

A. 0       B. 1       C. 2        D. 3

4. 在中，、、所对的边分别为、、，已知，，则（　　）

A.       B.      C.      D.  

5. 在中，、、所对的边分别为、、，若，则为（　　）

A. 等腰三角形        B. 直角三角形   

C. 等腰或直角三角形     D. 等腰直角三角形

二、填空题

6. 在中，已知，，，则________。

7. 在中，，则的值为________。

三、解答题

8. 在中，、、所对的边分别为、、，已知，

（1）求角A；

 （2）若，求的值。

1. 答案：C

解析：∵，，

由，得，

2. 答案：B

在中，由正弦定理，得。

又， ，，从而，

由勾股定理可得，

3. 答案：C

解析： 如图，，

∴有两解

4. 答案：A

解析：∵，由正弦定理得，又∵，∴，所以，易知，

∴，。

5. 答案：C

解析：由正弦定理得，

所以，

∴是等腰三角形或直角三角形。

6. 答案：

解析：由正弦定理，得，

即

7. 答案：

解析：由正弦定理可知，。

8. 答案：，。

解析：（1），

由正弦定理得，

又，

可得，

，

由，可得，

，

由A为三角形内角，可得。

（2）因为，所以由正弦定理可得，

由（1）得，所以，

又因为为锐角，

所以。