数学必修 第二册6.1 平面向量的概念学案

这是一份数学必修 第二册6.1 平面向量的概念学案，共13页。

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
【知识二】向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
3.模、零向量、单位向量
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
【知识三】相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【例1】下列各量中不是向量的是( )
A.浮力
B.风速
C.位移
D.密度
【变式1】下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【例2】(多选)下列说法中正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.有向线段就是向量，向量就是有向线段
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【变式2】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝eq \r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
【例3】如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与eq \(EF,\s\up6(→))共线的向量；
(2)写出模与eq \(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；
(3)写出与eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量.
【变式3】下列说法中正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))就是eq \(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq \(CD,\s\up6(→))所在的直线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.与任一向量都平行的向量是零向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
【例4】给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是________.(填序号)
【变式4】下列说法正确的是( )
A.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
B.相等向量一定在一条直线上
C.向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反
D.共线向量是在一条直线上的向量
课后练习题
1.给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有( )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
2.下列说法正确的是( )
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.单位向量的长度是1
C.长度相等的向量叫做相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
3.设O是△ABC的外心，则eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))是( )
A.相等向量 B.模相等的向量
C.平行向量 D.起点相同的向量
4.下列说法正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线 D.若a≠b，则a一定不与b共线
5.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的关系是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)) B.|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|
C.eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))6.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列说法中正确的是( )
A.|a|>|b| B.a∥b C.|a|>0 D.|b|=±1
7.若将向量用具有同一起点B的有向线段表示，当eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是平行向量，且|eq \(BC,\s\up6(→))|=2|eq \(CD,\s\up6(→))|=2时，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝________.
8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________.(填序号)
①与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))；②与eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))；
③eq \(BD,\s\up6(→))的模恰为eq \(DA,\s\up6(→))的模的eq \r(3)倍；④eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))不共线.
9.如图所示，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))，求证：eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→)).
10.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(AD,\s\up6(→))|.
6.1 平面向量的概念
【知识一】向量的概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.
【知识二】向量的几何表示
1.有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.
以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
3.模、零向量、单位向量
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
【知识三】相等向量与共线向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.
(2)规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
【例1】下列各量中不是向量的是( )
A.浮力
B.风速
C.位移
D.密度
答案 D
【变式1】下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
答案 D
【例2】(多选)下列说法中正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.有向线段就是向量，向量就是有向线段
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
答案 AC
【变式2】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝eq \r(5)，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为eq \r(5)的圆(作图略).
【例3】如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与eq \(EF,\s\up6(→))共线的向量；
(2)写出模与eq \(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；
(3)写出与eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量.
解 (1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝eq \f(1,2)BC.
又因为D是BC的中点，
所以与eq \(EF,\s\up6(→))共线的向量有eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→)).
(2)模与eq \(EF,\s\up6(→))的模相等的向量有eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→)).
(3)与eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量有eq \(DB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→)).
【变式3】下列说法中正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))就是eq \(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq \(CD,\s\up6(→))所在的直线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.与任一向量都平行的向量是零向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
答案 C
【例4】给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是________.(填序号)
答案 ④
【变式4】下列说法正确的是( )
A.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
B.相等向量一定在一条直线上
C.向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反
D.共线向量是在一条直线上的向量
答案 A
课后练习题
1.给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有( )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
答案 A
2.下列说法正确的是( )
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.单位向量的长度是1
C.长度相等的向量叫做相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
答案 B
3.设O是△ABC的外心，则eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))是( )
A.相等向量 B.模相等的向量
C.平行向量 D.起点相同的向量
答案 B
4.下列说法正确的是( )
A.若a∥b，则a＝b B.若|a|＝|b|，则a＝b
C.若a＝b，则a与b共线 D.若a≠b，则a一定不与b共线
答案 C
5.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的关系是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)) B.|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|
C.eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))答案 B
6.若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列说法中正确的是( )
A.|a|>|b| B.a∥b C.|a|>0 D.|b|=±1
答案 C
7.若将向量用具有同一起点B的有向线段表示，当eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是平行向量，且|eq \(BC,\s\up6(→))|=2|eq \(CD,\s\up6(→))|=2时，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝________.
答案 3或1
8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是________.(填序号)
①与eq \(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))；②与eq \(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq \(AB,\s\up6(→)))；
③eq \(BD,\s\up6(→))的模恰为eq \(DA,\s\up6(→))的模的eq \r(3)倍；④eq \(CB,\s\up6(→))与eq \(DA,\s\up6(→))不共线.
答案 ①②③
9.如图所示，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))，求证：eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→)).
证明 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))，
又eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))，∴CN＝MA，CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(NA,\s\up6(→))，∴CM＝NA，CM∥NA.
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.
又DN∥MB，∴eq \(DN,\s\up6(→))与eq \(MB,\s\up6(→))的模相等且方向相同，
∴eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→)).
10.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(CD,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(AD,\s\up6(→))|.
答案
(1)向量eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(CD,\s\up6(→))如图所示．
(2)由题意，易知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝200 km.