人教版九年级上册21.2.2 公式法复习练习题

这是一份人教版九年级上册21.2.2 公式法复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是( )
A.a＝3,b＝2,c＝3
B.a＝－3,b＝2,c＝3
C.a＝3,b＝2,c＝－3
D.a＝3,b＝－2,c＝3
2.已知方程x2－6x－1＝0,则b2－4ac的值是( )
A.10B.32
C.40D.－40
3.方程x2－3x＋3＝0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实根
B.有两个相等的实根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
4.若一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k>－1B.k≥－1
C.k≤－1D.k≥－1且k≠0
5.已知a是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根,则下列对a值的估计正确的是( )
A.2C.16.方程2x(x－5)＝6(x－5)＋2的根是( )
A.x＝4＋2
B.x＝4－2
C.x1＝4＋2,x2＝4－2
D.x1＝－4＋2,x2＝－4－2
7.利用求根公式求方程3x2+12=6x的根时,其中a=3,则bc的值是( )
A.12B.3C.-12D.-3
8.已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根,则下列对a的范围估计正确的是( )
A.-2C.-49.已知a,b,c分别为Rt△ABC(∠C＝90°)三边的长,则关于x的一元二次方程(c＋a)x2＋2bx＋(c－a)＝0根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法判断
10.若方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b＋b2-4c＝( )
A.mB.－m
C.2mD.－2m
11.若关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根,则k的非负整数值是( )
A.1B.0,1
C.1,2D.1,2,3
二、填空题
12.关于x的一元二次方程x2－10x＋a2＝0有两个相等的实数根,则a＝ .
13.用公式法解一元二次方程-x2+3x=1时,应求出a,b,c的值,则a= ,b= ,c= .
14.若x2+3xy-2y2=0,则xy的值为 .
15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是 .
三、解答题
16.不解方程,判断方程根的情况.
(1)2y2＋5y＋6＝0;
(2)2x2＝3x＋1;
(3)4y(4y－6)＋9＝0.
17.用公式法解下列方程,请完成解题过程:
(1)2x2－7x－4＝0.
解:a＝ ,b＝ ,c＝ ,
b2－4ac＝ >0,
x＝-b±b2-4ac2a＝7±814＝7±94,
x1＝ ,x2＝ .
(2)(x－2)2＝x－3.
解:整理,得 ,
a＝ ,b＝ ,c＝ ,
b2－4ac＝ <0,
方程 实数根.
18.用公式法解下列方程.
(1)x2－x＝－2;
(2)x2－2x＝2x＋1;
(3)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
19.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0(m≠1).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.
20.若a2＋b2＝c2,则我们把形如ax2＋2cx＋b＝0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当a＝3,b＝4时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0(a≠0)必有实数根.
21.定义a*b=a-4b3,求方程(3x*x2)+(x2*3x)=1的解.
22．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．(中考·乐山)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．
(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．
24.如下表,方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程:
(1)将方程3的解填在表中的空白处;
(2)请写出这列方程中的第10个方程,并用求根公式求其解.
序号
方程
方程的解
1
x2＋x－2＝0
x1＝－2
x2＝1
2
x2＋2x－8＝0
x1＝－4
x2＝2
3
x2＋3x－18＝0
x1＝
x2＝
…
…
…
…
参考答案
一、选择题
1.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是(D)
A.a＝3,b＝2,c＝3
B.a＝－3,b＝2,c＝3
C.a＝3,b＝2,c＝－3
D.a＝3,b＝－2,c＝3
2.已知方程x2－6x－1＝0,则b2－4ac的值是(C)
A.10B.32
C.40D.－40
3.方程x2－3x＋3＝0的根的情况是(C)
A.有两个不相等的实根
B.有两个相等的实根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
4.若一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个实数根,则k的取值范围是(D)
A.k>－1B.k≥－1
C.k≤－1D.k≥－1且k≠0
5.已知a是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根,则下列对a值的估计正确的是(B)
A.2C.16.方程2x(x－5)＝6(x－5)＋2的根是(C)
A.x＝4＋2
B.x＝4－2
C.x1＝4＋2,x2＝4－2
D.x1＝－4＋2,x2＝－4－2
7.利用求根公式求方程3x2+12=6x的根时,其中a=3,则bc的值是( C )
A.12B.3C.-12D.-3
8.已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根,则下列对a的范围估计正确的是( A )
A.-2C.-49.已知a,b,c分别为Rt△ABC(∠C＝90°)三边的长,则关于x的一元二次方程(c＋a)x2＋2bx＋(c－a)＝0根的情况是(C)
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法判断
10.若方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b＋b2-4c＝(D)
A.mB.－m
C.2mD.－2m
11.若关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根,则k的非负整数值是(A)
A.1B.0,1
C.1,2D.1,2,3
二、填空题
12.关于x的一元二次方程x2－10x＋a2＝0有两个相等的实数根,则a＝ ±5 .
13.用公式法解一元二次方程-x2+3x=1时,应求出a,b,c的值,则a= -1 ,b= 3 ,c= -1 .
14.若x2+3xy-2y2=0,则xy的值为 -32±172 .
15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是 m<1 .
提示:①当方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0为一元二次方程时,m2－1≠0,即m≠±1.∵关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,∴Δ＝[2(m－1)]2－4(m2－1)＝－8m＋8≥0,解得m≤1,∴m<1且m≠－1.②当方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0为一元一次方程时,m2－1＝0且2(m－1)≠0,则m＝－1.综上所述,m<1时方程有实数根.
三、解答题
16.不解方程,判断方程根的情况.
(1)2y2＋5y＋6＝0;
解:Δ＝b2－4ac＝52－4×2×6＝25－48＝－23<0,
∴方程2y2＋5y＋6＝0没有实数根.
(2)2x2＝3x＋1;
解:由已知得2x2－3x－1＝0,
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝9＋8＝17>0,
∴方程2x2＝3x＋1有两个不相等的实数根.
(3)4y(4y－6)＋9＝0.
解:由已知得16y2－24y＋9＝0,
Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝576－576＝0,
∴方程4y(4y－6)＋9＝0有两个相等的实数根.
17.用公式法解下列方程,请完成解题过程:
(1)2x2－7x－4＝0.
解:a＝ 2 ,b＝ －7 ,c＝ －4 ,
b2－4ac＝ 81 >0,
x＝-b±b2-4ac2a＝7±814＝7±94,
x1＝ 4 ,x2＝ －12 .
(2)(x－2)2＝x－3.
解:整理,得 x2－5x＋7＝0 ,
a＝ 1 ,b＝ －5 ,c＝ 7 ,
b2－4ac＝ －3 <0,
方程 没有(无) 实数根.
18.用公式法解下列方程.
(1)x2－x＝－2;
解:方程无解.
(2)x2－2x＝2x＋1;
解:x1＝2＋5,x2＝2－5.
(3)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
解:x1＝3＋33,x2＝3-33.
19.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0(m≠1).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.
解:(1)∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)由求根公式,得x＝2m±22(m-1),
∴x1＝m＋1m-1,x2＝1.
∵m为整数,且方程的两个根均为正整数,
∴x1＝m＋1m-1＝1＋2m-1,且x1必为正整数,
∴m－1＝1或2,∴m＝2或m＝3.
20.若a2＋b2＝c2,则我们把形如ax2＋2cx＋b＝0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当a＝3,b＝4时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0(a≠0)必有实数根.
解:(1)当a＝3,b＝4时,c＝±5,
∴相应的“勾系一元二次方程”为3x2±52x＋4＝0.
(2)∵Δ＝(2c)2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0,
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋2cx＋b＝0(a≠0)必有实数根.
21.定义a*b=a-4b3,求方程(3x*x2)+(x2*3x)=1的解.
解:根据新定义,得3x*x2=3x-4x23,x2*3x=x2-12x3,
方程变形为3x-4x23+x2-12x3=1,
整理,得x2+3x+1=0,
这里a=1,b=3,c=1,∴Δ=9-4=5,∴x=-3±52.
即x1=-3+52,x2=-3+52.
22．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
证明：∵Δ＝(k＋2)2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
解：解方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，得x1＝k，x2＝2.
∵△ABC为等腰三角形，
∴当a为腰时，等腰三角形三边长为1，1，2，
此时不能构成三角形；
当a为底时，b＝c＝2，此时△ABC的周长为5.
23．(中考·乐山)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．
(1)求a的最大整数值；
解：∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根，
∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，
解得a≤eq \f(70,9)且a≠6.
∴a的最大整数值为7.
(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．
解：当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0，
∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.
∴x＝eq \f(－（－8）±\r(28),2)＝4±eq \r(7)，
即x1＝4＋eq \r(7)，x2＝4－eq \r(7).
24.如下表,方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程:
(1)将方程3的解填在表中的空白处;
(2)请写出这列方程中的第10个方程,并用求根公式求其解.
解:(2)方程规律:x2＋1×x－12×2＝0,
x2＋2×x－22×2＝0,
x2＋3×x－32×2＝0,
所以第10个方程为x2＋10x－102×2＝0,
即x2＋10x－200＝0,
解得x＝-10±100＋8002,即x1＝－20,x2＝10.
序号
方程
方程的解
1
x2＋x－2＝0
x1＝－2
x2＝1
2
x2＋2x－8＝0
x1＝－4
x2＝2
3
x2＋3x－18＝0
x1＝ －6
x2＝ 3
…
…
…
…