高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试练习题

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量及其应用单元检测

班级           姓名            学号     

一、单选题（本大题共8小题，共32分）

1. 在中，，，，则的值等于

A.  B.  C.  D.

2. 下列判断中正确的是

A. 中，，，，有两解
B. 中，，，，有一解
C. 中，，，，有两解
D. 中，，，，无解

3. 在平面直角坐标系中，，点是以原点为圆心的单位圆上的动点，若，则的值是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. ，则的值为     

A.  B. 4 C. 1 D. 4或1

5. 已知向量，，则是的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 已知D，E，F分别为的边BC，CA，AB上的中点，且，，给出下列命题，其中正确命题的个数是          

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 我舰在敌岛A处南偏西的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为

1. 28海里小时
   B. 14海里小时
   C. 海里小时
   D. 20海里小时

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列有关向量命题，不正确的是

A. 若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底
B. ，，均为非零向量，若，，则
C. 若，则存在唯一的实数，使得
D. 若，，则的取值范围

10. 下列命题正确的是

A.    已知和是两个互相垂直的单位向量且垂直，则实数
B.    已知1，，3，，2，，则向量在上的投影向量的模长是
C.   圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
D.   不过原点的直线都可以用方程表示

11. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是 

A.  B.
C.  D.

12. 设动点P在正方体上含内部，且，当为锐角时，实数可能的取值是

A.  B.  C.  D.

三、单空题（本大题共5小题，共22分）

13. 设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦，则的取值范围是      
14. 10．         ，             ，            ．
15. 已知中，，且的最小值为，若P 为边AB 上任意一点，则的最小值是         。
16. 已知点C是平面ABD上一点，，，，若，则的最大值为______．
17. 已知向量的夹角为．若，则        若，则         

五、解答题（本大题共4小题，共36分）

18. 本小题满分14分

已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且

Ⅰ求角A的大小；

Ⅱ若， ，求的面积．




 

19. 已知向量，，，，

求的最小值及相应的t值；

若与共线，求实数t的值．






 

20. 如图，在平行四边形ABCD中，，，．

求的值；

求的值．






 

21. 已知函数，其相邻两个最值点的横坐标之差为．

求的单调递增区间；

在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c满足且

B为锐角，求函数的值域．

答案和解析

一．单择题

1. 【答案】A     2.【答案】B   3.【答案】C    4.【答案】B   5.【答案】A

6.          【答案】D     7.【答案】D    8.【答案】B  

二．多选题

9.【答案】AC     10.【答案】BC   11.【答案】ABD   12.【答案】CD

三．填空题

13.【答案】
14.【答案】     15.【答案】
16.【答案】    17.【答案】

四．解答题

18.【答案】解： ；

的面积为．

19.【答案】（1）取得最小值，

（2）
20.【答案】解：

22. 【答案】（1）

（2）

详细答案和解析

1.【答案】A
2.【答案】B

【解析】【解析】因为结合正弦定理而控制，选项A中，有一解，选项C中，也有一解，选项D中，有两解，故选B．
3.【答案】C

【解析】试题分析：若，结合图形可知，故选．
考点：向量的模．
4.【答案】B

【解析】略
5.【答案】A

【解析】

【分析】
根据向量垂直的充要条件，可知若则两个向量的数量积等于0，再用向量的数量积的坐标公式计算即可．
本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的坐标运算公式．
【解析】
解：向量，，
，
当时，
，
，
，
若果，

．
当是的充分不必要条件．
故选A．
6.【答案】D

【解析】略
7.【答案】D

【解析】

【分析】
本题主要考查向量的加法和加法的运算，根据三角形法则是解决本题的关键．
根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．
【解答】
解：为的边CB的中点，
 ，故正确，
 ，故正确， 
，故正确， 
，故正确， 
故正确是，共有4个．
故选D．
8.【答案】B

【解析】解：依题意，，，，
在中，由余弦定理，
得．
解得所以渔船甲的速度为海里小时．
故我舰要用2小时追上敌舰速度大小为：14海里小时．
故选：B．
由题意推出，利用余弦定理求出，然后推出渔船甲的速度．
本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，余弦定理的应用，考查计算能力．
9.【答案】AC
【解析】

【分析】本题考查命题的真假的判断，向量的基本性质的应用，是基础题．
利用向量是否共线，判断是否是基底，判断A，向量平行关系判断B；共线向量的充要条件判断C；向量模的性质判断D．
【解答】解：，两向量平行，不能做基底，故A错误；
由于，，均为非零向量，所以，，则一定平行于，B正确；
，必须加上，才能存在唯一的实数，使得，C错误；
由定义可知，，则的取值范围，D正确．
故选：AC．
10.【答案】BC

【解析】

【分析】
本题考查命题真假的判定，考查空间向量，直线与圆的位置关系和直线的截距式方程，属于一般题．
根据向量垂直判定A；根据投影向量即可判断B，根据直线和圆的位置关系判断C，根据截距式直线方程判断D．
【解答】
解：对于A，，，且，
，解得，所以A错误
对于B，1，，2，，
向量在上的投影向量的模长为，所以B正确
对于C，圆心为半径为，圆心到直线的距离为，
则圆与直线相交，仅有三个点到直线的距离等于1，故C正确；
对于D，截距式直线方程，不包括垂直于坐标轴和过原点的直线，故D错误．
故选BC．
11.【答案】ABD

【解析】

【分析】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．
由正弦定理可得，利用余弦定理求出cosC和C的值，判断A正确；
由三角形内角和定理，结合题意求出B、A的取值范围，判断B正确，C错误；
由正弦定理求出的取值范围，判断D正确．
【解答】
解：锐角中，，
由正弦定理可得：，
所以，
由余弦定理可得，
又，
所以，选项A正确；
由三角形内角和定理知，，
所以；
又，
所以，解得，
所以，选项B正确；
同理，，所以选项C错误；
由正弦定理得



，
由，得，
所以，选项D正确．
故选：ABD．
12.【答案】CD
 

【解析】解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则0，，1，，1，，0，
由1，，得，
所以0，，，，
1，，，，
所以为锐角等价于，
则等价于，
即，
又由，解可得
因此，的取值范围是，
分析选项：，，
故选：CD．
根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，由此表示向量、，由为锐角，利用空间向量数量积的坐标运算可得关于的不等式，解得的取值范围，分析选项可得答案．
本题考查了空间向量的应用，涉及空间向量数量积的计算，属于中档题．
13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量数量积的定义，属于中档题，熟练掌握平面向量的数量积及运算性质是关键．

【解答】

解：，

与共线时，能取得最值．
若与同向，则取得最大值，取得最大值为，

若与反向，则取得最小值，取得最大值为，

的取值范围是，

故答案为．

14.【答案】
 

【解析】
15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量模的计算，数量积的计算及函数的最值，

根据，

将问题转化为的最小值为，从而求出角A的大小，然后建坐标系，求的最小值即可．

【解答】

解：，

时，，舍去

时，，

解得：，所以；

建如图坐标系：

，，，

设，

．

所以最小值为．
16.【答案】
【解析】解：依题意，当点时，有最大值4，即，
设，，则，解得．
又又因为，所以
．
故填：．
依题意，若点C在线段BD上，此时有最大值4，即，求的最大值，利用基本不等式处理即可．
本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量的模，考查了基本不等式等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平面向量共线的条件及两向量垂直的条件，还考查数量积运算，由共线和垂直的条件即可求解．
【解答】
解： 因为，
所以存在实数k， 使，
所以，
解得，
又， 向量的夹角为，
所以，
又，
所以
，
解得．
故答案为 ．
18.【答案】解：由已知得：，故    ，

 ；

由题意得，，，

  ，则的面积为．

【解析】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题过程中利用了运用基本不等式的知识解决范围问题，属于中档题．

Ⅰ利用余弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A；

直接运用三角形的面积公式即可求解．
19.【答案】（1）取得最小值，

（2）
20.【答案】解：在平行四边形ABCD 中，

所以

由知，，

又

，

所以．

【解析】本题考查平面向量的加减运算及数量积运算，同时考查夹角和模的计算．

由已知得，然后利用数量积公式求解即可

求出，然后结合和夹角公式求解即可．

23. 
    【答案】（1）

（2）