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数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试单元测试练习
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这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试单元测试练习，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
2．已知是的边上的中线，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，且与共线，则为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，满足，，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．向量，若，则的值是( )
A．4B．-4C．2D．-2
6．已知向量，，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cs B＝（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为单位向量B．C．D．
三、填空题
13．如图，已知AC是圆的直径，B，D在圆上且，，则__________．
14．已知向量，，若向量与垂直，则__________．
15．已知，，为的三边，，则______.
16．设，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围是________.
四、解答题
17．已知向量,.
(1)求的坐标;(2)求.
18．在平面直角坐标系中，已知，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的值.
19．在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.
（1）以为基底表示；
（2）求.
20．已知的内角，所对的边分别是，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积，求a.
21．在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足__________.
（1）求角C；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
22．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
23．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东．
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
参考答案
1．D
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，
故选：D
2．B
因为是的边上的中线，所以为的中点，
所以
.
故选：B
3．B
解法一：∵，，与共线，
∴，解得．
解法二：∵，，与共线，
∴存在实数，使得，
即，得解得
故选：B．
4．C
解：因为，所以，即，
所以，
因为，，
所以，解得1，
故选：C
5．B
，故选B.
6．B
因为向量，，
所以,
又因为,所以,
故选B.
7．A
由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
8．A
由余弦定理得，
故，
所以.
故选：A.
9．AC
【详解】
A．由于，因此共线，不能作基底，
B．两向量不共线，可以作基底，
C．由于，不能作基底，
D．两向量不共线，可以作基底，
故选：AC．
10．ACD
选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，
根据数量积的分配律可知A正确，
根据数量积的定义可知，关于C正确；
而，根据C判断可知，
故，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
，正确；
，正确；
，错误；
，正确.
故选：.
12．ABD
对于A选项，，，则，A选项正确；
对于B选项，，，，B选项正确；
对于C选项，，所以与不垂直，C选项错误；
对于D选项，，所以，，D选项正确.
故选：ABD.
13．
解:如图,连接,
为直径,
.
故答案为:2.
14．16.
由题意，向量，，可得，
因为向量与垂直，所以，
解得．
15．0
，则，故.
故答案为：0.
16．
∵三点能构成三角形，
∴，不共线.
又∵，，
∴ .解得.
∴m的取值范围是.
故答案为：
17．(1);(2).
(1)因为,,
所以；
所以；
(2)因为,
所以.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ），，，
，
，，解得；
（Ⅱ），
，，解得.
19．（1）；；（2）
（1）由题意，；
.
（2）由题意得，.
20．（1）；（2）.
（1）因为，由正弦定理得；
所以
得
因
故
（2）
得
所以
21．条件选择见解析；（1）；（2）.
（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，
由余弦定理得，∴.
若选择②：由②及正弦定理得，即，，
∵，∴，.
若选择③：由③可得，∴，
∴，.
（2）由已知及余弦定理可得，
由为锐角三角形可得且，解得，
面积.
(或由正弦定理将b转换成一个内角的三角函数求解)
22．（1）；（2）.
由已知得，
根据正弦定理得，
∵∴，∴．
（1）因为，所以，
，
所以，∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，由余弦定理，得
，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面积．
23．
（1）如图．表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度．
（2）在中，，，于是．
因为，所以利用计算器可得．
因此船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°．
1．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
2．已知是的边上的中线，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，且与共线，则为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，满足，，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．向量，若，则的值是( )
A．4B．-4C．2D．-2
6．已知向量，，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cs B＝（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为单位向量B．C．D．
三、填空题
13．如图，已知AC是圆的直径，B，D在圆上且，，则__________．
14．已知向量，，若向量与垂直，则__________．
15．已知，，为的三边，，则______.
16．设，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围是________.
四、解答题
17．已知向量,.
(1)求的坐标;(2)求.
18．在平面直角坐标系中，已知，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的值.
19．在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.
（1）以为基底表示；
（2）求.
20．已知的内角，所对的边分别是，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，且的面积，求a.
21．在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足__________.
（1）求角C；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
22．在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
23．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东．
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
参考答案
1．D
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，
故选：D
2．B
因为是的边上的中线，所以为的中点，
所以
.
故选：B
3．B
解法一：∵，，与共线，
∴，解得．
解法二：∵，，与共线，
∴存在实数，使得，
即，得解得
故选：B．
4．C
解：因为，所以，即，
所以，
因为，，
所以，解得1，
故选：C
5．B
，故选B.
6．B
因为向量，，
所以,
又因为,所以,
故选B.
7．A
由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
8．A
由余弦定理得，
故，
所以.
故选：A.
9．AC
【详解】
A．由于，因此共线，不能作基底，
B．两向量不共线，可以作基底，
C．由于，不能作基底，
D．两向量不共线，可以作基底，
故选：AC．
10．ACD
选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，
根据数量积的分配律可知A正确，
根据数量积的定义可知，关于C正确；
而，根据C判断可知，
故，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
，正确；
，正确；
，错误；
，正确.
故选：.
12．ABD
对于A选项，，，则，A选项正确；
对于B选项，，，，B选项正确；
对于C选项，，所以与不垂直，C选项错误；
对于D选项，，所以，，D选项正确.
故选：ABD.
13．
解:如图,连接,
为直径,
.
故答案为:2.
14．16.
由题意，向量，，可得，
因为向量与垂直，所以，
解得．
15．0
，则，故.
故答案为：0.
16．
∵三点能构成三角形，
∴，不共线.
又∵，，
∴ .解得.
∴m的取值范围是.
故答案为：
17．(1);(2).
(1)因为,,
所以；
所以；
(2)因为,
所以.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ），，，
，
，，解得；
（Ⅱ），
，，解得.
19．（1）；；（2）
（1）由题意，；
.
（2）由题意得，.
20．（1）；（2）.
（1）因为，由正弦定理得；
所以
得
因
故
（2）
得
所以
21．条件选择见解析；（1）；（2）.
（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，
由余弦定理得，∴.
若选择②：由②及正弦定理得，即，，
∵，∴，.
若选择③：由③可得，∴，
∴，.
（2）由已知及余弦定理可得，
由为锐角三角形可得且，解得，
面积.
(或由正弦定理将b转换成一个内角的三角函数求解)
22．（1）；（2）.
由已知得，
根据正弦定理得，
∵∴，∴．
（1）因为，所以，
，
所以，∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，由余弦定理，得
，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面积．
23．
（1）如图．表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度．
（2）在中，，，于是．
因为，所以利用计算器可得．
因此船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°．
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