高中数学2.1椭圆达标测试

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)

A．－＜a＜　　　　　 B．a＜－或a＞

C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1

【解析】　∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，

∴＋＜1.∴＜.

则a2＜2，∴－＜a＜.

【答案】　A

2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是(　　)

A．k＜－或k＞ B．－＜k＜

C．k≤－或k≥ D．－≤k≤

【解析】　由

得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.

∵直线与椭圆有公共点．

∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，

则k≥或k≤－.

【答案】　C

3．(2016·重庆高二检测)过椭圆＋＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为(　　)

A. B．3

C．2   D.

【解析】　因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为，所以弦长为3.

【答案】　B

4．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　联立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．

∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，

∴中点坐标为.

【答案】　C

5．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝(　　) 【导学号：26160041】

A．－3 B．－

C．－或－3 D．±

【解析】　椭圆右焦点为(1,0)，

设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

把y＝x－1代入＋y2＝1，

得3x2－4x＝0.

∴A(0，－1)，B，

∴·＝－.

【答案】　B

二、填空题

6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．

【解析】　∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，

∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.

【答案】　1或2

7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且P·A＝0，则|P|的最小值是________．

【解析】　易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．

∵P·A＝0，

∴A⊥P.

∴|P|2＝|A|2－|A|2＝|A|2－1，

∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|A|min＝2，

∴|P|min＝.

【答案】　

8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

【解析】　由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，

所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.

设原点到直线的距离为d，则d＝＝.

所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝.

【答案】　

三、解答题

9．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．

【解】　法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则kPQ＝－.

设PQ所在直线方程为y＝－＋b.

由消去y，得

13x2－8bx＋16b2－48＝0.

∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.

解得b2＜，x1＋x2＝，

设PQ中点为M(x0，y0)，则有

x0＝＝，y0＝－·＋b＝.

∵点M在直线y＝4x＋上，

∴＝4·＋，∴b＝－.

直线PQ的方程为y＝－x－，

即2x＋8y＋13＝0.

法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

M(x0，y0)是PQ的中点．

则有两式相减，得

3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.

∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，

∴＝－＝－kPQ.

∵kPQ＝－，∴y0＝3x0.

代入直线y＝4x＋，

得x0＝－，y0＝－，

则直线PQ的方程为y＋＝－，

即2x＋8y＋13＝0.

10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．

【解】　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.

(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.

则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|＝|x1－x2|，

即＝|x1－x2|.

所以(x1＋x2)2－4x1x2＝，

即－＝＝，

解得b2＝或b2＝－(舍去)，

又b＞0，∴b＝.

[能力提升]

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

【解析】　直线AB的方程是＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.因为点F的坐标为(－c,0)，所以＝，化简，得8c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝.

【答案】　C

2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若F＝3F，则|A|＝(　　)

A. B．2

C. D．3

【解析】　设点A(2，n)，B(x0，y0)．

由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，

∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．

由F＝3F，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．

∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.

∴x0＝，y0＝n.

将x0，y0代入＋y2＝1，得

×2＋2＝1.解得n2＝1，

∴|A|＝＝＝.

【答案】　A

3．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

【解析】　由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，

又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，

故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，

k＝－，则相交时k＜－.

【答案】　

4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，A＝2F.

(1)求椭圆C的离心率；  【导学号：26160042】

(2)如果|AB|＝，求椭圆C的标准方程．

【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0.

(1)直线l的方程为y＝(x－c)，

其中c＝.

联立，得

消去x，得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝

因为A＝2F，所以－y1＝2y2，

即＝2·，

得离心率e＝＝.

(2)因为|AB|＝|y2－y1|，

所以·＝.

由＝，得b＝a，所以a＝，所以a＝3，b＝.

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.