人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试课后作业题

绝密★启用前

18.2特殊的平行四边形同步练习

人教版初中数学八年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个矩形．下列推理过程正确的是

A. 由推出，由推出 B. 由推出，由推出
C. 由推出，由推出 D. 由推出，由推出

2. 如图，已知线段，分别以，为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点，，连接，，，，，则下列说法错误的是

A. 平分
B. 平分
C.
D.
 

3. 如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为

A.
B.
C.
D.

4. 已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是

A. ，
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时，四边形是正方形

5. 如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，面积为的菱形中，点为对角线的交点，点是线段的中点，过点作于，于，则四边形的面积为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，两个边长相等的正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，则两个正方形的重叠部分四边形的面积

A. 不变
B. 先增大再减小
C. 先减小再增大
D. 不断增大

9. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为为的中点，，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

10. 矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接若，，则

A.  B.  C.  D.

11. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形若，则菱形的面积与正方形的面积之比是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为，小正方形地砖面积为，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形则正方形的面积为______用含，的代数式表示
     

14. 在矩形中，，，，分别为边，，，上的点不与端点重合，对于任意矩形，下面四个结论中，
    存在无数个四边形是平行四边形；
    存在无数个四边形是矩形；
    存在无数个四边形是菱形；
    至少存在一个四边形是正方形．
    所有正确结论的序号是______．
15. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是________．
    
    
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标是，对角线与交于点，则点的坐标为________．
     

17. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点作图痕迹如图所示，连接，则的度数为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，中，．
    作点关于的对称点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    在所作的图中，连接，，连接，交于点．
    求证：四边形是菱形；
    取的中点，连接，若，，求点到的距离．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
    求证：．
    
    
     

20. 如图，，平分交于点，点在上且，连接求证：四边形是菱形．

21. 如图，过▱对角线与的交点作两条互相垂直的直线，分别交边、、、于点、、、．
    
    
    求证：≌；
    顺次连接点、、、，求证：四边形是菱形．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，分别为、的中点，延长至点，使，连接．
    求证：≌；
    若，且，，求四边形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在▱中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．

24. 如图，是的角平分线，过点作交于点，交于点．
    求证：四边形为菱形；
    如果，，，求菱形的面积．

25. 如图，，是的两条高线，且它们相交于，是边的中点，连结，与相交于点，已知．
    求证．
    若平分．
    求证：．
    若，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故，错误，
故选项B，，D错误，
故选：．
根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
本题考查正方形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由作图知，
四边形是菱形，
平分、平分、，
不能判断，
故选：．
根据作图判断出四边形是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．
 

3.【答案】
 

【解析】解：如图，连接交于一点，连接，
四边形是正方形，
点与点关于对称，
，
的周长，此时的周长最小，
正方形的边长为，
，，
点在上且，
，
，
的周长，
故选：．
连接交于一点，连接，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出即可得到答案．
此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接交于点时的周长有最小值，这是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当时，四边形还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当且时，根据对角线相等可判断四边形是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形是菱形，故四边形是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
先由正方形的性质及，得出，，再结合，得出，从而可判定≌，然后证得，由面积法及勾股定理求得、的长，最后用的长的长减去的长即可得出答案．
【解答】
解：四边形为正方形，，
，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
≌，
，
，
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
连接，由线段垂直平分线的性质得出，，证明≌得出，得出，，由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可．
【解答】
解：连接，如图：

是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．由菱形的性质得出，，，，证出四边形是矩形，，，得出、都是的中位线，则，，由矩形面积即可得出答案．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，，
于，于，
四边形是矩形，，，
点是线段的中点，
、都是的中位线，
，，
矩形的面积；
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】解：四边形、四边形是两个边长相等的正方形，
，，，
，
即，
在和中
，
，
两个正方形的重叠部分四边形的面积是，
即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于，
故选：．
根据正方形性质得出，，，求出，证≌，推出两个正方形的重叠部分四边形的面积等于，即可得出选项．
本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，

的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：．
故选：．
根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标．
本题考查了坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，延长交于点，

四边形和四边形都是矩形，
，、，
，
，
又是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
、，
，
则，
故选：．
延长交于点，先证≌得，，再利用勾股定理求得，从而得出答案．
本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意可知菱形的高等于的一半，
菱形的面积为，正方形的面积为．
菱形的面积与正方形的面积之比是．
故选：．
根据角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形的高等于的一半，再根据正方形的面积公式和菱形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正方形与菱形的面积，熟知角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
．
是斜边上的中线，
，
，，
．
将沿对折，使点落在点处，
，
．
故选：．
根据三角形内角和定理求出由直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用等腰三角形的性质求出，，利用三角形内角和定理求出再根据折叠的性质得出，然后根据三角形外角的性质得出．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，正方形是由个相同大小的阴影部分和和一个小正方形组成；
如图，由图中对应的两个三角形全等可知，每个阴影部分的面积等于的大正方形的面积，
故四个相同阴影部分面积的和等于大正方形的面积，即和为．
故正方形的面积．

故答案为．
如图，正方形是由个相同的阴影部分和一个小正方形组成，个阴影部分的面积和等于大正方形的面积，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，四边形是矩形，连接，交于，
过点直线和，分别交，，，于，，，，
易得，，
则四边形是平行四边形，
故存在无数个四边形是平行四边形；故正确；
如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故正确；
如图，当时，存在无数个四边形是菱形；故正确；
当四边形是正方形时，，，易证，
则≌，
，，
，
，
四边形是正方形与任意矩形矛盾，故错误；
故答案为：．

根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．根据矩形的对角线相等，求出即可．
【解答】
解：如图，连结、．

，
，
四边形是矩形，
．
故答案为．  

16.【答案】 
 

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标等知识  首先求出的值，根据菱形的性质可以得到点的坐标，然后根据线段中点的坐标求法求出点的坐标即可．
【解答】顶点的坐标是，．
四边形是菱形，，点的坐标为．
，
点的横坐标，纵坐标，点的坐标为．
故答案为 ．  

17.【答案】
 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
由作图可知，，
，
，
故答案为．
根据，求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，菱形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：如图所示：点即为所求；

证明：，
，
是点关于的对称点，
，，
，
四边形是菱形；
过点作于，
四边形是菱形，
，，
是的中点，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
故点到的距离是．
 

【解析】根据点关于直线的对称点的画法，过点作的垂线段并延长一倍，得对称点；
根据菱形的判定即可求解；
过点作于，根据菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式即可求解．
此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出，的长是解题关键．
 

19.【答案】解：在正方形中，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
．
 

【解析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质结合已知条件可证明≌，然后根据全等三角形的性质即可求出答案．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
又，
，
，即，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形．
 

【解析】由，平分得到，得到，再由，得到对边，进而得到四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形为菱形．
本题考了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形判定及性质和等腰三角形的判定是解决此题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
≌；
证明：如图所示：

≌，
，
同理：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
 

【解析】由证≌即可；
由全等三角形的性质得出，同理≌，得出，证出四边形是平行四边形，由对角线，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：平行四边形中，对角线与交于点，
，
又点，分别为、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌；
≌，
，，
又，
，
，
，
，

四边形是平行四边形，
，，
，
又是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
矩形的面积．
 

【解析】依据平行四边形的性质，即可得到≌；
依据全等三角形的性质，即可得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到是直角，进而得到四边形是矩形，即可得出四边形的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
为的中点，
，
≌，
．
，
四边形是平行四边形，
在▱中，，
又，
，
四边形是矩形．
 

【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用判定≌，从而得到；由已知可得四边形是平行四边形，再证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形．
 

24.【答案】解：，
四边形是平行四边形


平分


且四边形为平行四边形
四边形为菱形；
如图：过点作于点

，，



，


，
，且，


四边形为菱形


 

【解析】由题意可证，四边形是平行四边形，即可证四边形为菱形；
过点作于点，由题意可得，根据度所对的直角边等于斜边的一半，可求，即可求的长，即可得菱形的面积．
本题考查了菱形的性质与判定，度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．
 

25.【答案】证明：，是的两条高线，
，
，
，
，
≌，
；
解：，，
是等腰直角三角形，
是边的中点，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
过作于，则是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，，
，
∽，
，
，
．
 

【解析】根据垂直的定义得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据角平分线的定义得到，求得，于是得到；
过作于，则是等腰直角三角形，求得，设，则，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．