初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系优秀教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系优秀教学设计，共21页。教案主要包含了教师准备，学生准备，课件出示，学生分析，师生活动，教师点评，学生小结，学生活动等内容，欢迎下载使用。


6　直线和圆的位置关系





1.经历探索直线与圆的位置关系的过程,了解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2.掌握切线的概念;探索切线与过切点的直径之间的关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念.

1.通过观察、实验、讨论、合作探究等数学活动,使学生了解探索问题的一般方法;培养学生联想、类比和推理能力.
2.通过“转化”数学思想的运用,让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的.

1.创设问题情境,激发学生的好奇心.
2.体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性和数学结论的确定性,在学习活动中获得成功的体验.

【重点】
1.会判断直线和圆的三种位置关系.
2.掌握切线的性质和判定方法,并会用切线的性质和判定方法计算和证明.
【难点】
1.利用切线的性质和判定方法计算和证明.
2.作三角形内切圆的方法.
第课时



1.经历探索直线与圆位置关系的过程.
2.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
3.了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系.

1.经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力.
2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化.

1.通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

【重点】　理解直线与圆的三种位置关系;了解切线的概念以及切线的性质.
【难点】　经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.
【学生准备】　
1.复习点与圆的位置关系.
2.圆规,直尺和圆形纸片.


导入一:
同学们,还记得唐代诗人白居易的《忆江南》这首诗吗?诗里面的句名是“日出江花红胜火,春来江水绿如蓝,能不忆江南?”实际上 “日出江花红胜火”便是“旭日东升”的真实写照,同学们能不能简单描述一下“旭日东升”的画面?
【课件出示】　“旭日东升”的美丽画面.

【想一想】　当太阳逐渐升起时,地平线与太阳的位置发生了怎样的变化?
【问题】　直线和圆有几种位置关系呢?
【学生分析】　把太阳看做圆,地平线看做直线,由图片可以看出直线(地平线)和圆(太阳)有三种位置关系.
[设计意图]　为了引起学生的好奇,在上课的开始阶段就激发起他们的学习热情,引用了学生非常熟悉的唐代诗人白居易的《忆江南》中的名句“日出江花红胜火”并欣赏图片,让学生感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象,为揭示课题做好铺垫.
导入二:
回忆点和圆有几种位置关系?
学生说出点和圆的三种位置关系:点在圆内,点在圆上,点在圆外.
【问题】　类比点和圆的三种位置关系,你能猜测直线和圆的位置关系吗?
[设计意图]　通过对点和圆的三种位置关系的回忆,复习旧知的同时,又引出了新知,学生自然而然地会利用类比点和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系.

　　[过渡语]　通过导入我们了解了直线与圆也存在着几种位置关系,到底是什么样的位置关系?它们又有哪些相关的性质?下面我们就揭开它们神秘的面纱.
一、直线和圆的位置关系
课件出示:

观察上面三幅图,地平线(直线)与太阳(圆)的位置关系是怎样的?
活动1:利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系.
【观察】　当太阳逐渐升起时,地平线与太阳的位置,直线(地平线)和圆(太阳)的公共点个数是怎样变化的?
学生分析得出:直线与圆分别有两个公共点、一个公共点、没有公共点.
【做一做】　为了验证直线与圆的位置关系,请同学在纸上画一条直线,把硬币的边缘看做圆,在纸上移动硬币,你能发现直线和圆有几种位置关系?
【师生活动】　学生操作画图并动手实践,等学生完成后教师课件出示:

【教师点评】　根据直线与圆的公共点个数我们可以把直线与圆的位置关系分为三种:相交、相切、相离.
切线的定义及相关概念:
直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
[设计意图]　通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习,促使学生主动参与数学知识的“再发现”,培养学生动手实践能力,观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力,这样既加深了学生对定义本身的理解,同时可以提高对定义形成过程中涉及的思想、方法的认识,促进了思维的发展.
[知识拓展]　利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系:当直线与圆有唯一公共点时⇔直线与圆相切;当直线与圆有两个公共点时⇔直线与圆相交;当直线与圆没有公共点时⇔直线与圆相离.
　　[过渡语]　通过刚才的研究我们知道,利用公共点的个数可以判定直线和圆的位置关系,请同学们想一想,能否用类似于判定点和圆的位置关系那样,通过数量关系来判定直线和圆的位置关系呢?
活动2:利用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的关系来判断直线和圆的位置关系.
课件出示:
【想一想】　圆心O到直线l的距离d与☉O的半径r的大小有怎样的数量关系?你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗?
【师生活动】　为便于学生思考,教师出示下面的三幅示意图,然后学生观察并独立思考,最后小组讨论交流.

【学生小结】　圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系:
直线和圆相交,即d 直线和圆相切,即d=r;
直线和圆相离,即d>r.
【教师点评】　由位置关系得到了d与r的数量关系,同时反过来也成立,我们就可以根据数量关系判断直线和圆的位置关系.
直线和圆相交⇔d 直线和圆相切⇔d=r;
直线和圆相离⇔d>r.
[设计意图]　利用数量关系判断直线和圆的位置关系,开拓了学生的视野,增加了学生的学习方法,再一次体会了数形结合思想的运用.
[知识拓展]　判断直线和圆的位置关系的方法:(1)利用直线和圆的公共点个数来判断;(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.
　　[过渡语]　圆的切线是我们以后解决圆的问题中的一条重要直线,那么它又具有什么样的性质呢?
二、切线的性质
课件出示:
问题1
你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
【师生活动】　学生大胆发言,举出生活中的实例,教师可以多找一些学生回答.
问题2
图中的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?

【学生活动】　学生观察思考后与同伴交流,统一答案:图中的三个图形都是轴对称图形,对称轴是过圆心O且与直线l垂直的直线.
问题3

如图所示,直线CD与☉O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说一说你的理由.
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.此图是对称图形吗?是什么对称图形?
2.把图形沿AB对折后,会得到什么结论?
【学生活动】　学生独立思考后,小组交流讨论,代表发言说明理由:直径AB与直线CD垂直. 因为此图形是轴对称图形,所以沿AB所在的直线对折时,AC与AD重合,因此∠BAC=∠BAD=90°,所以AB⊥CD.
思路二
【想一想】　利用圆的轴对称性可以说明AB⊥CD,我们能否从理论验证的方法说明这一结论呢?
【师生活动】　引导学生利用“反证法”进行证明,教师课件出示证明过程,供学生参考.

解:能.因为AB与CD要么垂直,要么不垂直,所以假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD(如图所示),垂足为M,则OM 【师生总结】
圆的切线性质:圆的切线垂直于过切点的半径.

用几何语言描述:如图所示,∵CD是☉O的切线,A是切点,OA是☉O的半径,∴CD⊥OA.
[设计意图]　由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究,学生可以利用对称性、反证法等不同的方法解决这个问题,增强对切线性质定理的理解,得出了圆的切线的性质,为今后继续解决圆的问题打下了基础,同时也锻炼了学生探究问题的能力.
[知识拓展]　1.圆的切线性质定理中的半径也可以是直径.
2.圆中常用的辅助线作法——见切点连半径.即只要是见到圆的切线,就可以连接圆心与切点,得到切线与半径垂直,这是在圆中常用的辅助线的一种添加方法.
　　[过渡语]　实践是检验真理的唯一标准,下面检验一下你们对直线与圆的位置关系的掌握情况,相信你,一定能出色完成任务!
课件出示:
(教材例1)已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与☉C相切?
(2)以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
〔解析〕　根据d与r之间的数量关系可知:dr时,直线与圆相离.

解:(1)如图所示,过点C作AB的垂线,垂足为D.
∵AC=4 cm,AB=8 cm,
∴cos A==.
∴∠A=60°.
∴CD=ACsin A=4sin 60°=2(cm).
因此,当半径长为2 cm时,AB与☉C相切.
(2)由(1)可知,圆心C到AB的距离d=2 cm,所以当r=2 cm时,d>r,☉C与AB相离;
当r=4 cm时,d [设计意图]　本例题通过直线和圆的位置关系得出数量关系,以及由圆心到直线的距离和半径的数量关系得到它们的位置关系,既巩固了所学知识,又提高了学生解决问题的能力,也规范了答题,体现了数形结合的思想.

　　1.圆的切线的概念.
2.直线和圆的位置关系.
(1)三种位置关系.
(2)两种判断方法.
3.切线的性质定理.

1.(白银中考)已知☉O的半径是6 cm,点O到同一平面内直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系是 (　　)
　　A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
解析:设圆的半径为r,点O到直线l的距离为d,∵d=5 cm,r=6 cm,∴d 2.如图所示,AB切☉O于点B,延长AO交☉O于点C,连接BC.若∠A=40°,则∠C等于 (　　)
A.20° B.25° C.40° D.50°
解析:如图所示,连接OB.∵AB切☉O于点B,∴OB⊥AB,即∠ABO=90°,∴∠AOB=50°,又∵点C在AO的延长线上,且在☉O上,∴∠C=∠AOB=25°.故选B.

3.(重庆中考)如图所示,C为☉O外一点,CA与☉O相切,切点为A,AB为☉O的直径,连接CB.若☉O的半径为2,∠ABC=60°,则BC=　　　　. 

解析:∵CA与☉O相切,切点为A,AB为☉O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=60°,☉O的半径为2,∴在Rt△BAC中,∠C=30°,AB=4,∴BC=2AB=2×4=8.故填8.
4.如图所示,已知∠MAN=30°,O为边AN上一点,以O为圆心,2为半径作☉O,交AN于D,E两点,当AD=　　　　时,☉O与AM相切. 

解析:如图所示,设AM切☉O于点C,连接OC,则AC⊥OC,∴∠ACO=90°,OC=OD=2,∵∠MAN=30°,∴OC= OA.∵OC=OD=2,∴OA=4,∴AD=OA-OD=2,∴当AD=2时,☉O与AM相切.故填2.
5.如图所示,已知∠AOB=30°,P是OA上的一点,OP=24 cm,以r为半径作☉P.

　　(1)若r=12 cm,试判断☉P与OB的位置关系;
(2)若☉P与OB相离,试求出r需满足的条件.
解:如图所示,过点P作PC⊥OB,垂足为C,则∠OCP=90°.∵∠AOB=30°,OP=24 cm,∴PC=OP=12 cm.
(1)当r=12 cm时,r=PC,∴☉P与OB相切,即☉P与OB的位置关系是相切.
(2)当☉P与OB相离时,r
第1课时
1.圆的切线的概念:直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
2.直线和圆的位置关系:
直线和圆相交⇔d 直线和圆相切⇔d=r;
直线和圆相离⇔d>r.
3.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第91页随堂练习第1,2题.
2.教材第91页习题3.7第1,2题.
【选做题】
教材第91页习题3.7第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为 (　　)
A.2 cm B.2.4 cm C.3 cm D.4 cm

2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为　　　　. 
3.(西宁中考)☉O的半径为R,点O到直线l的距离为d,R,d是方程x2-4x+m=0的两根,当直线l与☉O相切时,m的值为　　　　. 
【能力提升】
4.(长春中考)如图所示,在平面直角坐标系中,点A,B均在函数y=(k>0,x>0)的图象上,☉A与x轴相切,☉B与y轴相切.若点B的坐标为(1,6),☉A的半径是☉B的半径的2倍,则点A的坐标为 (　　)
A.(2,2)　B.(2,3)　C.(3,2)　D.

5.(玉林中考)如图所示,直线MN与☉O相切于点M,ME=EF且EF∥MN,则cos E=　　　　. 

6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,BC=4 cm,以点C为圆心,4 cm长为半径画☉C,请判断BD与☉C的位置关系,并说明理由.

7.已知☉O的直径AB的长为4 cm,C是☉O上一点,∠BAC=30°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,求BP的长.

8.(铜仁中考)如图所示,已知三角形ABC的边AB是☉O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D,C,过C作直线CE⊥AB,交AB的延长线于点E.
(1)求证CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求☉O的半径.

【拓展探究】
9.(天津中考)已知A,B,C是☉O上的三个点.四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D.
(1)如图(1)所示,求∠ADC的大小;
(2)如图(2)所示,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.

【答案与解析】
1.B(解析:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.由勾股定理,得AB2=32+42=25,∴AB=5(cm).∵AB是☉C的切线,且设切点为D,∴CD⊥AB,∴CD=r.∵S△ABC=AC·BC=AB·r,∴r=2.4 cm.故选B.)
2.1或5(解析:当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.故填1或5.)
3.4(解析:∵d,R是方程x2-4x+m=0的两个根,且直线l与☉O相切,∴d=R,∴方程有两个相等的实根,∴Δ=16-4m=0,解得m=4.)
4.C (解析:把B点坐标(1,6)代入函数解析式得k=6,则函数的解析式是y=,∵B点坐标为(1,6),☉B与y轴相切,∴☉B的半径是1,则☉A的半径是2,把y=2代入y=,得x=3,则A点坐标是(3,2).故选C.)
5.(解析:如图所示,连接OM,OM的反向延长线交EF于C,∵直线MN与☉O相切于点M,∴OM⊥MN,∵EF∥MN,∴MC⊥EF,∴CE=CF,∴ME=MF,而ME=EF,∴ME=EF=MF,∴△MEF为等边三角形,∴∠E=60°,∴cos E=cos 60°=.)

6.解:相交.理由如下.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=8 cm,∴AC==4 cm,由三角形面积公式得AC·BC=AB·CD,∴CD==2 cm,∵CD=2 cm<4 cm,∴BD与☉C的位置关系是相交.
7.解:如图所示,连接OC,∵OA=OC,∴∠ACO=∠BAC=30°,∴∠COB=60°,∵PC是切线,∴OC⊥PC,∴∠P=30°,∴OP=2OC=4 cm,∴BP=OP-OB=4-2=2(cm).

8.(1)证明:如图所示,连接OB,∵AB是☉O的切线,∴OB⊥AB,∵CE⊥AB,∴OB∥CE,∴∠1=∠3,∵OB=OC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CB平分∠ACE.　(2)解:如图所示,连接BD, ∵CE⊥AB,∴∠E=90°,∴BC===5,∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°,∴∠E=∠DBC,又∠2=∠3,∴△DBC∽△BEC,∴=,∴BC2=CD·CE,∴CD==,∴OC=CD=,∴☉O的半径为.

9.解:(1)∵CD是☉O的切线,C为切点,∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,即AD∥OC,有∠ADC+∠OCD=180°,∴∠ADC=180°-∠OCD=90°.　(2)如图所示,连接OB,则OB=OA=OC, ∵四边形OABC是平行四边形,∴OC=AB,∴OA=OB=AB,即△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,由OF∥CD,∠ADC=90°,得∠AEO=∠ADC=90°,∴OF⊥AB,∴=,∴∠FOB=∠FOA=∠AOB=30°,∴∠FAB=∠FOB=15°.



本课导入选用了学生熟悉的唐代诗人白居易的《忆江南》这首诗作为课程资源,为直线与圆位置关系的教学提供了知识上的经验支持. 让学生感受到了数学源于生活,初步体会到数学的价值.在直线与圆位置关系相应的数量关系的探究中,运用了类比迁移、大胆猜想、实验验证的方法,发现直线与圆的位置关系可通过半径与圆心到直线的距离的数量关系来判断,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化,这种等价关系是研究切线的理论基础,从而为下节课的学习打好基础.

学生对圆的切线性质理解不够,对突破难点点拨不是很到位,在今后教学工作中应努力改进.

例题的解答要相信学生的实力,完全交给学生独立解答,教师只给少数学生指点,规范学生的解答过程即可.

随堂练习(教材第91页)
1.r>5.
2.πd[提示:圆心经过的路径是与桌面平行的一条线段,硬币沿直线滚动一圈,圆心经过的路径的长度等于硬币的周长.]
习题3.7(教材第91页)
1.解:如图所示,过O作OD⊥AC与D,∵∠B=30°,∴∠A=60°,∴OD=OAsin 60°=msin 60°=m.(1)当r>m时,直线AC与☉O相交;(2)当r=m时,直线AC与☉O相切;(3)当r
2.提示:如图所示,波纹刚好抵达对岸,即此时的☉O与对岸相切,设切点为A,连接OA,由于圆的切线垂直于过切点的半径,所以OA与对岸垂直,即OA为河宽.另一方面,OA为☉O的半径,因此OA=OB,所以只要测出OB即可.

3.解:设光盘的圆心为O,连接OC,OB,OA,如图所示.∵AC,AB分别为圆O的切线,∴AO为∠CAB的平分线,OC⊥AC,OB⊥AB,又∠CAD=60°,∴∠OAC=∠OAB=∠CAB=60°,在Rt△AOB中,∠OAB=60°,AB=6 cm,∴tan∠OAB=tan 60°=,即=,∴OB=6(cm),∴光盘的直径为12 cm.



首先学生可以通过观察,感受生活中的直线与圆位置关系的现象,然后通过自己动手操作,在纸上画一条直线,把硬币的边缘看做圆进行实际体验,从而归纳出直线与圆的几种位置关系,然后类比点与圆的位置关系的探究方法,进一步探究出直线与圆的不同位置关系中d与r的大小关系,继而对d=r的情形特别关注,从而归纳出切线的性质,并学会运用其解决问题.

(枣庄中考)如图所示,A为☉O外一点,AB切☉O于点B,AO交☉O于C,CD⊥OB于E,交☉O于点D,连接OD.若AB=12,AC=8.
(1)求OD的长;
(2)求CD的长.

　　〔解析〕　(1)设☉O的半径为R,根据切线定理得OB⊥AB,则在Rt△ABO中,利用勾股定理得到R2+122=(R+8)2,解得R,进而求得OD的长;(2)根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE,再证明△OEC∽△OBA,利用相似比可计算出CE的长,所以CD=2CE可求.
解:(1)设☉O的半径为R,∵AB切☉O于点B,
∴OB⊥AB,在Rt△ABO中,OB=R,AO=OC+AC=R+8,AB=12,
∵OB2+AB2=OA2,∴R2+122=(R+8)2,解得R=5,∴OD的长为5.
(2)∵CD⊥OB,∴DE=CE,而OB⊥AB,∴CE∥AB,∴△OEC∽△OBA,∴=,即=,
∴CE=,∴CD=2CE=.
[解题策略]　本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质.
第课时



1.掌握切线的判定定理,会判断一条直线是否为圆的切线.
2.掌握经过圆上一点画圆的切线的方法.
3.理解三角形的内切圆和内心的概念及内心的性质;掌握用尺规作三角形内切圆的方法.

1.通过判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力.
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力.

1.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.经历探究圆与直线的位置关系的过程,掌握图形的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题.

【重点】　探索圆的切线的判定方法,并会用切线的判定方法进行计算和证明.
【难点】
1.探索圆的切线的判定方法,并会用切线的判定方法进行计算和证明.
2.作三角形内切圆的方法.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.
【学生准备】　
1.复习判断一个角等于90度的方法及切线的性质.
2.圆规、直尺.


导入一:

教师引入:同学们,请观察下面四张图片(多媒体展示),我们会发现,在下雨天当车从我们身边飞驰而过时,我们会看到车轮后留下一条水流痕迹,砂轮打磨零件会飞出火星,如果我们把车轮和砂轮看做一个圆,留下的水流痕迹和飞出的火星看做一条直线,大家探索一下这一生活现象中的直线和圆又有怎样的位置关系呢?
【问题】　上节课我们掌握了切线的性质,那么如何判断一条直线是圆的切线呢?
[设计意图]　以图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.通过观察图片,以问题的形式引导学生发现图片中直线和圆,引出本节课的课题.

导入二:
一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在着什么样的位置关系?
学生思考并进行猜测.
【问题】　车轮可以看成什么图形?铁轨可以看成什么图形?你有没有判定两者位置关系的方法?
[设计意图]　通过对车轮与铁轨之间的位置关系的讨论,引出本节课的探究任务,能使学生做到有的放矢.

　　[过渡语]　切线的性质定理的逆命题是什么?它的逆命题正确吗?也和其他的定理一样可以作为切线的判定定理吗?
一、切线的判定定理
课件出示:
如图所示,AB是☉O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A旋转时.

(1)随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化?直线l与☉O的位置关系如何变化?
(2)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r?此时,直线l与☉O有怎样的位置关系? 为什么?
【学生活动】　学生认真思考,感受两者之间的变化规律,然后与同伴交流,代表发言,学生相互订正.

学生分析:随着∠α由小变大,点O到l的距离d也由小变大,此时d=rsin α;当∠α=90°时,d达到最大,此时d=r;之后∠α逐渐变小,d逐渐变小.因此,当∠α=90°(即l⊥AB)时,d=r.这时直线l与☉O相切.
【师生活动】　在学生回答问题后,师生共同订正,并且教师利用多媒体进行动画演示,让学生一目了然.
【教师点评】　直线l绕A点逆时针旋转时,AB与直线l的夹角是先减小后增大的,圆心O到直线l的距离d也是先减小后增大的.当∠α=90°时,d达到最大,此时d=r,这时直线与圆只有一个公共点,即直线与圆是相切的.
切线的判定定理:
过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
用数学语言表示:
∵AB是☉O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴ CD是☉O的切线.

【教师强调】　判定圆的切线要满足两个条件:
一是直线过半径的外端;
二是垂直于这条半径.
[设计意图]　此环节由要探究的问题,让学生自己亲身探究得出直线和圆相切的判定方法,这样不仅锻炼学生探究问题的能力,而且加深对判定定理的理解.
[知识拓展]　圆的切线的判定方法:
(1)利用公共点:一个交点⇔圆的切线.
(2)利用d与r的关系:d=r⇔圆的切线.
(3)利用圆的切线判定定理:垂直于半径的外端⇔圆的切线.
　　[过渡语]　我们掌握了判定圆的切线的方法,你能运用这个方法解决下面的问题吗?
二、作圆的切线
课件出示:
【做一做】　已知☉O上有一点A,过点A画☉O的切线.
【师生活动】　学生作图,教师巡视指导.学生完成后,代表说明作法.

作法:
(1)连接OA.
(2)过点A作OA的垂线l.
直线l即为所求的切线.
【想一想】　作图的依据是什么呢?
学生分析:作图的依据是:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
【拓展延伸】　已知☉O外一点P,过点P作出☉O的切线.
(此题有一定难度,老师既可以作为课下作业留给学生讨论,又可以引导学生作图)
课件展示:
已知☉O外一点P,过点P作出☉O的切线,可以作两条,作图时可以以OP为直径作圆,与☉O相交于A,B两点,然后作射线PA,PB即得☉O的两条切线.
如图所示.

【想一想】　这个作图的依据是什么呢?
学生观察后得出:作图的依据是直径所对的圆周角是90°.
[设计意图]　这是对圆的切线判定定理的灵活运用, 利用作图加深对圆的切线的判定定理的理解.
[知识拓展]　证明圆的切线的方法:
1.知道直线与圆有一个公共点,可以把这个点和圆心连接起来,再证明直线与这条半径垂直,就可以说明这条直线是圆的切线,可以简记为“连半径,证垂直”.
2.知道半径和直线垂直的情况下,证明垂线段等于半径也可以证明这条直线是圆的切线,可以简记为“作垂直,证半径”.
　　[过渡语]　前面我们学习了三角形的外接圆及外心的概念和性质,如果把两个图形的位置换一下,两者之间又会是什么关系呢?
三、三角形的内切圆
多媒体出示:
　(教材例2)如图(1)所示,在△ABC中,作一个圆使它与这个三角形三边都相切.

〔解析〕　作一个圆使它与这个三角形三边都相切,那么它的圆心到三角形三边的距离应该相等,可以先作两个角的平分线,其交点即为圆心.
解:1.作∠ABC,∠ACB的平分线BE和CF,交点为I(如图(2)).
2.过I作BC的垂线,垂足为D.
3.以I为圆心,以ID为半径作☉I.
☉I就是所求的圆.
教师引导学生思考下面的问题:
1.这样的圆你能做出几个?
2.交点I到三角形三边的距离有什么关系?
【学生活动】　学生思考后,小组互相交流,统一答案.
【教师点评】　因为BE和CF只有一个交点I,并且I到三边的距离相等,所以和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
【类比联想】　我们知道三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,那么内心的位置一定在三角形的内部吗?还是和外心一样有三个不同的位置?
【学生活动】　学生思考后与同伴交流得出:无论锐角、直角、钝角三角形的内心都在三角形的内部.
[设计意图]　通过作圆的切线引出作三角形的内切圆,得出三角形和圆的关系,同时也巩固了直线和圆相切的判定定理,复习了确定圆的方法,从而把与本节有关系的知识都联系起来了,形成知识体系,便于学生学习和掌握.
[知识拓展]　三角形的外接圆和内切圆的对比:
圆心O的名称
圆心O的确定
“心”的性质
“心”的位置
内心
作两角的平分线
内心到三边的距离相等
内部
外心
作两边的中垂线
外心到三个顶点的距离相等
内部、外部、边上

1.圆的切线的判定定理.
2.三角形的内切圆和内心的概念.
3.圆的切线及三角形内切圆的作法.
4.圆的切线的证明方法.

1.下列直线中,可以判定为圆的切线的是 (　　)
A.与圆仅有一个公共点的直线
B.垂直于圆的半径的直线
C.与圆心的距离等于直径的直线
D.过圆的半径外端的直线
解析:A.根据圆的切线的定义,可知与圆仅有一个公共点的直线是切线,故选项正确;B.垂直于圆的半径的直线,可能与圆相交或相离,故选项错误;C.与圆心的距离等于直径的直线与圆相离,故选项错误;D.过圆的半径外端的直线与圆相交或相切,故选项错误.故选A.

2.如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是 (　　)
　　A.∠EAB=∠C
B.∠B=90°
C.EF⊥AC
D.AC是☉O直径
解析:假设直线EF与☉O相切于点A,由弦切角定理可得∠EAB=∠C,故A正确;因为AC不一定过圆心,所以AC不一定是☉O的直径,∠B=90°,EF⊥AC都不一定成立,故B,C,D错误.故选A.
3.如图所示,A,B是☉O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于　　　　度时,AC才能成为☉O的切线. 
解析:∵△AOB中,OA=OB,∠AOB=120°,∴∠OAB=30°,∴当∠CAB的度数等于60°时,OA⊥AC,AC才能成为☉O的切线.故填60.

4.如图所示,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=　　　　度. 

解析:∵点P是△ABC的内心,∴BP平分∠ABC,AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.故填90.
5.(梅州中考)如图所示,在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,以O为圆心的圆过点C.
(1)求证AB与☉O相切;
(2)若∠AOB=120°,AB=4,求☉O的面积.

证明:(1)连接OC,
∵在△ABO中,OA=OB,C是边AB的中点,
∴OC⊥AB,
∵以O为圆心的圆过点C,∴AB与☉O相切.
解:(2)∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠A=∠B=30°,
∵AB=4,C是边AB的中点,
∴AC=AB=2,
∴OC=AC·tan A=2×=2.
∴☉O的面积为π×22=4π.

第2课时
1.切线的判定定理:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
2.内切圆和内心的概念:
和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第93页随堂练习第1,2题.
2.教材第93页习题3.8第1,2题.
【选做题】
教材第93页习题3.8第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 (　　)
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.如图所示.点O是△ABC的内心,若∠ACB=70°,则∠AOB等于 (　　)
A.140° B.135° C.125° D.110°

3.如图所示,CD是☉O的直径,BD是弦,延长DC到A,使∠ABD=120°,若添加一个条件,使AB是☉O的切线,则下列四个条件:①AC=BC;②AC=OC;③OC=BC;④AB=BD中.能使命题成立的有　　　　(只填序号即可). 

4.☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则☉O的半径为　　　　. 
【能力提升】
5.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=30°,半径为1 cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6 cm.如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么要使☉P与直线CD相切,则☉P移动的时间为 (　　)
A.4 s　　B.8 s　　C.4 s或6 s　　D.4 s或8 s

6.如图所示,AB是☉O的直径,经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.过点A作直线AB的垂线,交BD的延长线于点E,且AB=,BD=2,则线段AE的长为　　　　. 

7.如图所示,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证PA是☉O的切线;
(2)若PD= ,求☉O的直径.

8.如图所示,BC是☉O的直径,A是☉O上一点,过点C作☉O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证AP是☉O的切线;
(2)若OC=CP,AB=6,求CD的长.

9.如图所示,☉O为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∠BCA=90°,BC=3,AC=4.
(1)求△ABC的面积;
(2)求☉O的半径;
(3)求AF的长.

【拓展探究】
10.(遂宁中考)如图所示,☉O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P,连接PD.
(1)求证PD是☉O的切线;
(2)求证PD2=PB·PA;
(3)若PD=4,tan∠CDB=,求直径AB的长.

【答案与解析】
1.B(解析:A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,故本选项错误;B.到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;D.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.故选B.)
2.C(解析:∵点O是△ABC的内心,∴∠BAO=∠CAO=∠BAC,∠ABO=∠CBO=∠ABC,∵∠ACB=70°,∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=110°,∴∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABO)=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-×110°=125°.故选C.)
3.①②③④ (解析:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线,分析每种情况后,能得到经过半径的外端且垂直于半径的直线就是圆的切线.)
4.(解析:如图所示,连接O和切点D,OC,由等边三角形的内心即为中线、底边高线、角平分线的交点知OD⊥BC,∠OCD=30°,OD即为圆的半径.又BC=2,则CD=1.在直角三角形OCD中=tan 30°=,所以OD=.)

5.D (解析:①由题意设CD与圆P1相切于点E,∴P1E⊥CD.又∵∠AOD=30°,r=1 cm,∴在△OEP1中OP1=2 cm,又∵OP=6 cm.∴P1P=4 cm,∴圆P到达圆P1需要的时间为:4÷1=4(s).②当圆心P在直线CD的右侧时,PP2=6+2=8(cm),∴圆P到达圆P2需要的时间为:8÷1=8(s).综上可知,☉P与直线CD相切时,经过的时间为4 s或8 s.故选D.)
6.(解析:∵EA⊥AB,∴∠EAB=90°,∴∠B+∠E=90°,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD===1,∠ADB=∠EAB,∠B+∠DAB=90°,∴∠DAB=∠E,∴△ABD∽△EAD,∴=,∴=,∴AE=.)
7.(1)证明:连接OA,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥PA,∴PA是☉O的切线.　(2)解:在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴PO=2OA=OD+PD,又∵OA=OD,∴PD=OA,∵PD=,∴2OA=2PD=2,∴☉O的直径为2.

8.(1)证明:如图所示,连接AO,AC.∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠CAD=90°.∵E是CD的中点,∴CE=DE=AE.∴∠ECA=∠EAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵CD是☉O的切线,∴CD⊥OC.∴∠ECA+∠OCA=90°.∴∠EAC+∠OAC=90°.∴OA⊥AP.∵A是☉O上一点,∴AP是☉O的切线.　(2)解:由(1)知OA⊥AP.在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,∴sin P==,∴∠P=30°.∴∠AOP=60°.∵OC=OA,∴∠ACO=60°.在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=6,∠ACO=60°,∴AC==2,又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°-∠ACO=30°,∴CD===4.

9.解:(1)∵∠C=90°,BC=3,AC=4,∴△ABC的面积为×3×4=6.　(2)如图所示,连接OE, OD,OF,∵☉O为△ABC的内切圆,D,E,F为切点,∴OD=OE=OF=r,∴△ABC的面积=BC·OE+AC·OD+AB·OF=(AB+BC+AC)r=6,即×(3+4+5)r=6,∴r=1.　(3)∵CD=1,∴AF=AD=4-1=3.

10.(1)证明:连接OD,OC,∵PC是☉O的切线,∴∠PCO=90°,∵AB⊥CD,AB是直径,∴=,∴∠DOP=∠COP,在△DOP和△COP中, DO=CO,∠DOP=∠COP,OP=OP,∴△DOP≌△COP(SAS),∴∠ODP=∠PCO=90°,∵D在☉O上,∴PD是☉O的切线.　(2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,由(1)知∠PDO=90°,∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠PDB,∵∠DPB=∠APD,∴△PDB∽△PAD,∴=,∴PD2=PA·PB.　(3)解:∵DC⊥AB,设垂足为M,∴∠ADB=∠DMB=90°,∴∠A+∠DBM=90°,∠BDC+∠DBM=90°,∴∠A=∠BDC,∵tan∠BDC=,∴tan A==,由(2)知△PDB∽△PAD,∴===,∵PD=4,∴PB=2,PA=8,∴AB=8-2=6.



情境引入是利用学生熟知的生活现象图片,激发了学生的学习兴趣和学习新知识的好奇心,在学生的好奇下引出新授内容,从而使学生很快融入课堂.本节课在探索新知识的环节设计上重在让学生参与, 尽可能多地为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究,让学生真正“动起来”,让学生真正成为课堂的主人.教学过程中,对于学生的表现,给予了及时的鼓励和评价:一个会心的微笑、学生的掌声、翘起的拇指、真诚的语言……让学生及时感受到被认可,学生就有更大的动力投入到后面的学习中去.

本节课中由于时间关系,处理得比较仓促,并且多数题目没有与以前的知识联系起来.

自我测试的巩固环节上,可以进行分层评价,分层评价中设置不同层次的题目,发展学生的发散思维,使每个学生都有收获,都能体验成功的快乐.

随堂练习(教材第93页)
1.解:半径分别为3,4,.
2.解:三角形的内心都在三角形的内部.
习题3.8(教材第93页)
1.解:直线AB是☉O的切线.理由如下:连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB,∴AB与☉O相切.
2.解:∵∠A=68°,∴∠ABC+∠ACB=180°-68°=112°,∴∠ABC+∠ACB=56°.又∵∠BIC=
180°-(∠IBC+∠ICB),且∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,∴∠BIC=180°-=180°-56°=124°.

3.解:以OP为直径作圆,与☉O相交于A,B两点,然后作射线PA,PB.则PA,PB即为☉O的切线.


1.通过情境导入初步感知圆的切线,让学生感受数学来源于生活的事实.
2.通过交流与合作,探究出圆的切线的判定定理,关于定理一定要重点强调前提条件“过半径的外端”,这是本节课的一个易错点.
3.通过动手操作作出圆的切线和三角形的内切圆,然后再利用类比探究三角形外接圆(外心)的方法总结归纳出三角形内切圆(内心)的概念及性质,这样会降低难度,突破难点.

　(威海中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,☉O是△BEF的外接圆.

　　(1)求证AC是☉O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证CD=HF.
〔解析〕　(1)连接OE,由于BE是角平分线,则有∠CBE=∠OBE,而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代换有∠OEB=∠CBE,那么利用内错角相等,两直线平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是☉O的切线;(2)连接DE,先根据AAS证明△CDE≌△HFE,再由全等三角
形的对应边相等即可得出CD=HF.
证明:(1)连接OE.
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,
∴∠AEO=∠C=90°,∴AC是☉O的切线.
(2)如图所示,连接DE.

∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,∴EC=EH.
∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,∴∠CDE=∠HFE.
在△CDE与△HFE中,∠CDE=∠HFE,∠C=∠EHF=90°,EC=EH,∴△CDE≌△HFE(AAS),∴CD=HF.
[解题策略]　本题主要考查了切线的判定,全等三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.