九年级下册8 圆内接正多边形教案

教学目标

1.了解圆内接正多边形的相关概念．

2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．

3.会用尺规作圆的内接正多边形．

教学重难点

重点：掌握圆内接正多边形的性质并能加以运用．

难点：会用尺规作圆的内接正多边形．

教学过程

导入新课

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问题1：观察上面多边形，它们有什么特点？

问题2：这些美丽的图案都是在日常生活中我们经常能看到的，你能从这些图案中找出类似的图形吗？

从图片中观察出它们都是正多边形．

紧接着教师提出问题：正多边形和圆有什么样的位置关系？如果给你一个圆，你能在圆中画出正多边形吗？

设计意图：在教学中提出问题，激发学生对探索圆内接正多边形的兴趣，使学生明确这节课的学习任务，利于学生集中精力学习重点内容．

探究新知

一、预习新知

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师：你能从这四幅图中找出多边形吗？它们都是几边形？

生：三角形、六边形、四边形、五边形．

师：它们都是什么样的多边形？

生：它们的各边相等，各内角也相等，所以它们都是正多边形．

师：这些正多边形的顶点都具有什么样的特征？

生：顶点都在同一个圆上．

教师点评：我们把这样的多边形叫做圆内接正多边形．

接着教师让学生总结圆内接正多边形的概念．

学生总结：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．

教师引导学生思考下面的问题：

1.如何作圆内接正三角形？正四边形？正五边形？正六边形？

2.如何作圆内接正n边形？

让学生分组讨论，全班分成四个组分别作四种图形，教师巡视，并参与到学生的讨论中去．

然后展示学生作出的圆内接正多边形，小组代表发言，口述他们的作法．

师生共同总结：利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法：

把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．

教师补充：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形．

师：一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？

让学生以正三角形和正方形为例，是否存在外接圆和内切圆，小组讨论，然后小组代表发言．

生：正多边形都有外接圆和内切圆．

师：这两个圆有什么位置关系？

生：这两个圆是同心圆．

以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念．

让学生结合图形和教材，自学了解圆内接正五边形的相关概念．

教师点评：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．

设计意图：学生经历观察、操作的过程，逐步掌握了圆内接正多边形的相关概念和作法．

拓展

正n边形的性质：

1.正n边形的每个中心角都相等，都等于；

2.正n边形的每个外角都相等，都等于；

3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°－．

【例】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．[来源:学.科.网]

【问题探索】如上图，连接OB，结合已知条件→∠COB＝60°，结合OC＝OB→△COB为等边三角形→CB＝OC．在Rt△COG中，由勾股定理即可求得边心距OG．

【解】如上图，连接OB．来源:Zxxk.Com]

∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴∠COB＝＝60°，

∴△COB为等边三角形，

∴CB＝OC＝4．

在Rt△COG中，OC＝4，GC＝BC＝×4＝2，

∴OG＝＝＝2，

∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2．

【总结】在解决正多边形与圆的问题中，常通过作辅助线构造直角三角形求解．

二、合作探究

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做一做：你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?

师：通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆的半径有什么关系？

生：由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R．

师：你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半径的关系利用尺规进行作图了吗？

生：在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形．

学生首先独立作图，然后小组交流，代表展示．

最后教师给出规范作法．

作法：

(1)作☉O的任意一条直径FC．

(2)分别以F，C为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于点E，A和D，B．

(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF．

设计意图：操作性强又富有挑战性的数学活动，有利于激发学生的学习兴趣，掌握尺规作图的方法的同时，为下面的应用打下了良好的基础．

想一想：你能借助尺规作出圆内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．

学生独立完成，代表说出作法．

作一个☉O，取☉O直径AB，作AB的垂直平分线交☉O于点C，D，顺次连接A，C，B，D，四边形ACBD即为☉O的内接正四边形．

课堂练习

1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　　)

A.60°  B.45°

C.30°  D.22.5°

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(　　)

A.36°  B.60°

C.72°  D.108°

3.若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是°，半径是，边心距是，它的每一个内角是°．

4.如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心，求地基的中心到边缘的距离．(结果精确到0.1 m)

参考答案

1.C　

2.C   

3.60  1    120

4.解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．

由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴ ∠AOM＝36°．

∵ AB＝×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)．

在Rt△AMO中，边心距OM＝＝≈3.6(m)．

所以地基的中心到边缘的距离约为3.6 m．

课堂小结

(学生总结，老师点评)

1.圆内接正多边形的定义．

2.正多边形的画法．

3.正n边形的性质.

板书设计

第三章　圆

8　圆内接正多边形

1.圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．

2.正多边形的画法：把一个圆n等分(n≥3)，依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．

3.正n边形的性质：

正n边形的每个中心角都相等，都等于；

正n边形的每个外角都相等，都等于；

正n边形的每个内角都相等，都等于180°－．

教学反思

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