苏科版九年级下册5.1 二次函数优秀课后练习题

这是一份苏科版九年级下册5.1 二次函数优秀课后练习题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第3节 用待定系数法确定二次函数表达式








一、单选题（共8小题）


1.将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）


A．y＝（x+2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣2）2+5D．y＝（x﹣2）2﹣5


【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5


＝（x﹣2）2，﹣5．


故选：D．


【知识点】二次函数的三种形式


2.二次函数y＝x2+3x+化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（ ）


A．B．


C．D．


【解答】解：y＝x2+3x+＝（x2+6x+9﹣9+5）＝（x+3）2+2．


故选：A．


【知识点】二次函数的三种形式


3.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）


A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4


C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣4


【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得


8＝a（2﹣1）（2+2），


解得a＝2，


∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），


化简得，y＝2x2+2x﹣4．


故选：D．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式


4.当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（ ）


A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2x+1C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3


【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），


即当x＝k+1时，y＝k2+2，


∴k＝x﹣1，


把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，


所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3的图象上．


故选：C．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的图象


5.若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣3）2﹣4，则b的值分别为（ ）


A．0B．5C．6D．﹣6


【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+9﹣4＝x2﹣6x+5，


又∵y＝x2+bx+5，


∴b＝﹣6．


故选：D．


【知识点】二次函数的三种形式、二次函数的性质


6.二次函数y＝ax2+c的图象与y＝2x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点（1，1），则该二次函数的解析式为（ ）


A．y＝2x2﹣1B．y＝2x2+3C．y＝﹣2x2﹣1D．y＝﹣2x2+3


【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c的图象与y＝2x2的图象形状相同，开口方向相反，


∴a＝﹣2，


∴二次函数是y＝﹣2x2+c，


∵二次函数y＝ax2+c经过点（1，1），


∴1＝﹣2+c，


∴c＝3，


∴抛该二次函数的解析式为y＝﹣2x2+3；


故选：D．


【知识点】二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式


7.已知二次函数的图象经过点（﹣1，0），（3，0）和（0，﹣3），则这二次函数的表达式为（ ）


A．y＝x2+2x+3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3


【解答】解：把（﹣1，0），（3，0）和（0，﹣3）代入y＝ax2bx+c，得


，


解得，


∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；


故选：B．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式


8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2）．y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A，B，D，抛物线y4经过点A，C，D，则下列判断其中正确的是（ ）


①四条抛物线的开口方向均向下；


②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；


③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；


④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．





A．①②④、B．①③④C．①②③D．②③④


【解答】解：根据已知条件利用待定系数法可得：


y1＝﹣（x﹣）2+，


y2＝﹣（x﹣）2+，


y3＝﹣（x﹣1）2+，


y4＝﹣（x﹣1）2+7＝﹣x2+2x+6．


y4 与y轴交点为（0，6）．


∴①四条抛物线的开口方向均向下；


②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大；


③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方；


④抛物线y4与y轴交点在点B的上方．


所以①②④正确．


故选：A．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征








二、填空题（共4小题）


9.已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6，用配方法化为y＝a（x﹣m）2+k的形式为 ﹣ ﹣ ，这个二次函数图象的顶点坐标为 ．


【解答】解：y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x2﹣2x）+6＝﹣2（x﹣1）2+8，


∴顶点（1，8）．


故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+8，（1，8）．


【知识点】二次函数的三种形式、二次函数的性质


10.若二次函数y＝ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式为： ﹣ ．


【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，


所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），


设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4，


把（﹣3，0）代入得a•（﹣3+2）2+4＝0，解得a＝﹣4，


所以抛物线解析式为y＝﹣4（x+2）2+4．


故答案为y＝﹣4（x+2）2+4．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式


11.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的解析式是 ﹣ ．


【解答】解：抛物线过A（0，3），B（2，3），则函数的对称轴为：x＝1，


故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，


将点A的坐标代入上式并解得：k＝4，


故抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；


故答案为：y＝﹣x2+2x+3．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征


12.设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式 ﹣ ．


【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，


∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），


设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，


∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，


故答案为：y＝﹣x2+1．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质








三、解答题（共6小题）


13.已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点（1，﹣3），（0，﹣1）．


（1）求抛物线的表达式；


（2）用配方法求出该抛物线的顶点坐标．


【解答】解：（1）把（1，﹣3）（0，﹣1）代入y＝2x2+bx+c得


解得b＝﹣4，c＝﹣1，


∴抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣1


（2）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3


∴顶点坐标（1，﹣3）．


【知识点】二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式


14.已知抛物线y＝﹣ax2+4x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣5）．


（1）求抛物线的解析式；


（2）点D为抛物线的顶点，点E为y轴上一点，若DE＝AE，求点E的坐标．


【解答】解：（1）∵B（1，0），C（0，﹣5），


∴，解得，，


∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x﹣5；





（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，


∴D（﹣2，﹣9），


令y＝0，有x2+4x﹣5＝0，


解得，x1＝﹣5，x2＝1，


∴A（﹣5，0），


设E点的坐标为（0，m），


∵DE＝AE，


∴DE2＝AE2，


∴4+（m+9）2＝25+m2，


∴m＝﹣，


∴E（0，）．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式


15.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0）


（1）求该二次函数的解析式；


（2）在坐标系xOy中画出该二次函数的图象（不用列表）．


【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝1，且它经过点A（3，0），


∴，解得，


∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；


（2）如图：





【知识点】二次函数的图象、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征


16.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．


（1）求抛物线的函数解析式；


（2）求△MCB的面积；


（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．





【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y＝ax2+bx+c上，


∴解方程组得，


∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；


（2）连接OM，如图，


∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，


∴M（2，9），


∵抛物线的对称轴为直线x＝2，


∴B（5，0），


∴S△BCM＝S△OCM+S△BOM﹣S△OBC


＝×5×2+×5×9﹣×5×5


＝15；


（3）x＜0或x＞2．





【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式（组）


17.已知函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，y2＝nx+k﹣2n（m，n，k为常数且n≠0）．


（1）若函数y1的图象经过点A（2，5），B（﹣1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．


（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．


①求点M的坐标和k的值．


②若m≤2，当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．


【解答】解：（1）对于函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，当x＝2时，y＝3，


∴点A不在抛物线上，


把B（﹣1，3）代入y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，得到3＝1+3m+5，


解得m＝﹣1，


∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．





（2）①∵函数y1经过定点（2，3），


对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，


∴当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．


②∵m≤2，


∴抛物线的对称轴x＝≤2，


∴抛物线的对称轴在定点M（2，3）的右侧，





由题意当1+（m+2）+2m+3≤﹣n+3﹣2n时，满足当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，


∴3m+3n≤﹣3，


∴m+n≤﹣1．


【知识点】待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式（组）


18.已知二次函数y＝x2﹣2bx+c（b，c是常数）．


（1）当b＝2，c＝5时，求二次函数的最小值；


（2）当c＝3，函数值y＝﹣6时，以之对应的自变量x的值只有一个，求b的值；


（3）当c＝3b，自变量1≤x≤5时，函数有最小值为﹣10，求此时二次函数的表达式．


【解答】解：（1）当b＝2，c＝5时，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，


∴当x＝2时，y最小＝1；


（2）当c＝3，函数值y＝﹣6时，x2﹣2bx+3＝﹣6，


∴x2﹣2bx+9＝0，


∵对应的自变量x的值只有一个，


∴△＝（﹣2b）2﹣4×1×9＝0，∴b＝±3；


（3）当c＝3b时，y＝x2﹣2bx+3b＝（x﹣b）2+3b﹣b2


∴抛物线对称轴为：x＝b


①b＜1时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y最小．


∴（1﹣b）2+3b﹣b2＝﹣10，∴b＝﹣11；


②1≤b≤5，当x＝b时，y最小．


∴（b﹣b）2+3b﹣b2＝﹣10


∴b1＝5，b2＝﹣2（舍去）


③b＞5时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而 减小，


∴当x＝5时，y最小．


∴（5﹣b）2+3b﹣b2＝﹣10，∴b＝5（舍去）


综上可得：b＝﹣11或b＝5


∴二次函数的表达式：y＝x2+22x﹣33或y＝x2﹣10x+15．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值