初中数学第5章 二次函数5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式达标测试

5.3用待定系数法确定二次函数表达式苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 设函数是实数，，当时，；当时，，(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2. 在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为(    )

A.          B.           C.           D.

3. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若二次函数的图象过，两点，且该函数图象的顶点为，其中，是整数，且，，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

以下结论正确的是(    )

A. 抛物线的开口向下
B. 当时，随的增大而增大
C. 方程的根为和
D. 当时，的取值范围是

5. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图所示，此钢拱近似看成二次函数的图象抛物线在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点，拱高为米即最高点到的距离为米，跨径为米即米，以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在平面直角坐标系中放置，，点现将沿轴的正方向无滑动翻转，依次得到，，连续翻转次，则经过三顶点的抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 一个二次函数的图像如图所示，则它所对应的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 设函数、、是实数，，当时，当时，，若(    )

A. ，则 B. ，则
C. ，则 D. ，则

11. 小明在研究某二次函数时列表如下：

当自变量满足时，下列说法正确的是(    )

A. 有最大值，有最小值 B. 有最大值，有最小值
C. 有最大值，有最小值 D. 有最大值，有最小值

12. 在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中如图的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已抛物线过点和，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为______．
14. 已知二次函数的图象交轴于、两点，对称轴方程为，若，且此二次函数的最大值为，则此二次函数的解析式为______．
15. 已知、是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点坐标是          ．
16. 已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与轴的另一交点到原点的距离为，则该二次函数的解析式为____________．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的表达式．
18. 已知二次函数．
    二次函数图象的对称轴是______；
    当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式；
    对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
19. 已知抛物线为常数，且
    已知点，，，若该抛物线只经过其中的两点，求抛物线的表达式；
    点为中抛物线上一点，且，求的取值范围；
    若抛物线与直线都经过点，设，求证：且．
20. 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
    
    小聪测量黑球减速后的运动速度单位：、运动距离单位：随运动时间单位：变化的数据，整理得下表．

小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

21. 已知抛物线为常数经过点，．
    求该抛物线的解析式；
    若点，在该抛物线上，当时，试比较与的大小；
    点为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标．
22. 已知抛物线为常数经过点，．

求抛物线的解析式及对称轴

在平面直角坐标系中，当，满足时，就称点为“美好点”若点，在左侧为抛物线上的“美好点”，点为抛物线上、之间的一点包含、，求点的纵坐标的取值范围．

23. 已知抛物线．
    该抛物线的对称轴为______ ；
    若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式；
    设点，在该抛物线上，若，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果．
【解答】
解：当时，；当时，；
代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
【解答】
解：由图象知，、、组成的点开口向上，；
A、、组成的二次函数开口向上，；
B、、三点组成的二次函数开口向下，；
A、、三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较、、组成的二次函数和、、组成的二次函数即可．
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得；
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得，
即最大的值为，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：该函数图象的顶点为，其中，是整数，且，，
或或或．
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标只能是或或或．
当顶点坐标为时，
设抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得：；
当顶点坐标为时，
设抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得：；
当顶点坐标为时，
设抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得：；
当顶点坐标为时，
设抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得：．
综上，的最大值是故选：．
利用已知条件与抛物线的对称性求得抛物线顶点的可能值，利用待定系数法求得对应的值，依据要求取的最大值即可．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将点，，的坐标分别代入，
得解得
．

A.，

抛物线开口向上，故A错误．

B.图象的对称轴为直线，且开口向上，

当时，随的增大而增大，故B错误．

C.，

当或时，，故C正确．

D.抛物线开口向上，与轴的交点坐标为，，

或时，，故D错误．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】
解：设抛物线的解析式为：，，
将代入得：，
解得：，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由图象知，、、组成的点开口向上，；
A、、组成的二次函数开口向上，；
B、、三点组成的二次函数开口向下，；
A、、三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较、、组成的二次函数和、、组成的二次函数即可．
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得；
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得，
即最大的值为，
故选：．
比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为，

，点，
，，
，
三角形有三条边，连续翻转次是一个循环，，
与位置相同，一个周期长为，
是直角三角形，
是的面积，
，
，
，
，
，，，
设过、、的抛物线解析式为，
把代入中得：
，
解得：，
过、、的抛物线解析式为，
将抛物线向右平移四个循环，得抛物线为，
故选：．
过点作轴，垂足为，根据已知可得的三边长，再根据三角形有三条边，可得连续翻转次是一个循环，，从而可得与位置相同，一个周期长为，然后求出、、的坐标，利用待定系数法求出过、、的抛物线解析式，最后利用向右平移个单位即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，规律型：点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，以及抛物线的平移是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由抛物线知，抛物线顶点坐标是．
由抛物线知，．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的顶点坐标是．
该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为：．
故选：．
由抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标与点的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线顶点坐标，易得抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出新抛物线的顶点坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】略
 

10.【答案】 

【解析】解：把“当时，当时，”代入函数表达式，
得 
，即．
分别把选项中的值代入上式，求出的值，即能看出的符号．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值有关知识，由二次函数图象经过点，，，利用待定系数法求函数解析式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】
解：将点，，代入到二次函数中，
得：．
二次函数的解析式为．
抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
自变量满足时，有最小值，
时，，
自变量满足时，有最大值，有最小值，
  

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，只有经过点，，和点，，的二次函数图象开口向上，
即，故只需比较这两个二次函数中的值即可．
设经过点，，的二次函数图象对应的表达式为．
把点，，的坐标分别代入上式，得
解得．
设经过点，，的二次函数图象对应的表达式为．
把点，，的坐标分别代入上式，得
解得．
所以的值最大为．
 

13.【答案】或 

【解析】解：抛物线过点和，
设抛物线解析式为：，
又函数与轴交于点，且，

点坐标为：或，
把点代入函数解析式得，
，或
或；
这条抛物线的解析式为：或，
即或．
由题意抛物线过点和，说明它们是抛物线与轴的两个交点，此时可设函数解析式为：，又有函数与轴交于点，把点坐标代入函数解析式，求出值，从而求出函数的解析式．
解此题关键是要设合适的函数解析式，根据题意设出函数的两点式可以减少运算量，提高做题的准确率，此题考查的还是二次函数图象的基本性质．
 

14.【答案】． 

【解析】解：设函数的解析式为：，
设方程的两根为：，
二次函数的图象交轴于、两点，且，
，
，，
，
，
解得，
此二次函数的解析式为：．
先设出二次函数的解析式，因知道对称轴及二次函数的最大值为，可设函数解析式为：，再根据二次函数的图象交轴于、两点且，知方程的两根，有，代入可以求出值，从而求出二次函数的解析式．
此题考查一次函数的基本性质，知道对称轴和函数最大值把二次函数设为顶点式，学会用待定系数法求出二次函数的解析式，还考查学生的计算能力．
 

15.【答案】 

【解析】略
 

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题重点考查利用待定系数法求二次函数解析式．
求二次函数解析式一般有三种方法：一般式，顶点式，两点式，本题利用一般式去求因为图象与轴的交点到原点距离为，故此二次函数经过或点，将，，，或，，代入，，即可求得二次函数的解析式．
【解答】
解：设二次函数的解析式为，
当图象与轴的另一交点坐标为时，
把、、，代入得
解得：
则二次函数的解析式为：   ；
当图象与轴的另一交点坐标为时，
解得：
则二次函数的解析式为：，
故答案为或   ．  

17.【答案】解：由二次函数的图像经过点、和，

得

解得

所求二次函数表达式为．

【解析】见答案
 

18.【答案】 

【解析】解：，
二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：；
，
，
当时，二次函数有最小值为，
当时，时函数有最大值，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
．
该二次函数的表达式为；
当，时，均满足，的取值范围是：理由：
二次函数图象的对称轴是直线，
当与时的函数值相等，
，
抛物线的开口方向向上，
当，时，均满足，
，
解得：．
利用二次函数的性质解答即可；
利用二次函数的性质和待定系数法解答即可；
结合二次函数的图象，利用二次函数的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：抛物线过点，
抛物线不经过点．
抛物线经过、两点，由题意得，
，解得
抛物线的表达式为．
点在抛物线上，
，整理得，．
，
，
，
解得．
的取值范围为．
抛物线与直线都经过点，
，
，整理得．
，


，即．
又，
．
且． 

【解析】根据题意可得，抛物线过，两点，用待定系数法求解即可；
把点带入到中抛物线的表达式中，形成关于，的等式，然后利用的取值范围，确定的取值范围；
把点代入抛物线与直线的表达式中，两个等式联立后得到关于，的等式，用含的式子表示，代入中，通过式子变形得出的取值范围．
本题考查了待定系数法求函数表达式、函数图像上点的坐标特征及配方法等，判断一个二次三项式的取值范围，通常利用配方法把它化成完全平方的形式再进行判断．
 

20.【答案】解：设，将，代入，得，
解得，，
；
设，将，，代入，得，
解得，
．
令，即，
解得或，
当时，；
当时，舍；
设黑白两球的距离为，
根据题意可知，

，
，
当时，的最小值为，
黑白两球的最小距离为，大于，黑球不会碰到白球．
另解：当时，，判定方程无解．
另解：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于． 

【解析】设，代入，，利用待定系数法可求出和；设，代入，，，利用待定系数法求解即可；
令，代入中关系式，可先求出，再求出的值即可；
设黑白两球的距离为，根据题意可知，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
 

21.【答案】解：把，代入得，
，
解得．
所以，该抛物线的解析式为；
对称轴为，
，
当时，随的增大而增大．
，
；
点为该抛物线上一点，
，
设，
当时，最大，
此时． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
求出抛物线的对称轴，再根据增减性解答即可；
把的坐标代入抛物线可得，再设，根据二次函数的最值可得答案．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键．
 

22.【答案】解：把点，代入得：

解得：

求抛物线的解析式为：，对称轴为：直线；
，
，
点为“美好点”，
点、为抛物线上的“美好点”，
点、即为直线与抛物线的交点，


解得：，或，，
在左边，
，，
点为抛物线上、之间的一点包含、，
点的横坐标的取值范围是：，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
点的纵坐标的取值范围是：． 

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤及二次函数的性质是解决问题的关键．
利用待定系数法，把点，代入即可求解，进一步可求出抛物线的对称轴；
“美好点”的定义，得出点中，的关系，从而得出点满足，再利用与抛物线的交点即可求出点、的坐标，进而可得点横坐标的范围，结合抛物线对称轴即可求出点纵坐标的范围．
 

23.【答案】直线 

【解析】解：抛物线．
对称轴为直线，
故答案为：直线；
抛物线的顶点在轴上，
顶点坐标为，
解得或，
抛物线的解析式为：或；
对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
当时，若，则或；
当时，若，则．
根据题意可得抛物线的对称轴；
抛物线的顶点在轴上，可得顶点坐标为，进而可得的值；
根据点关于直线的对称点为，进而可得的取值范围．
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．