高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)


1.(2020·扬州高二检测)在等差数列{an}中,若a3=-6,a7=a5+4,则a1等于( )


A.-10B.-2C.2D.10


【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,a7=a5+4,


所以a5+2d=a5+4(d是公差),解得d=2,


因为a3=a1+2d=-6,即a1+4=-6,解得a1=-10.


2.(多选题)若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有( )


A.{an+an+1}B.{}


C.{an+1-an}D.{2an}


【解析】选ACD.设等差数列{an}的公差为d.对于A,


(an+an+1)-(an-1+an)


=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),


所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;


对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)


=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;


对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为常数列;


所以{an+1-an}为等差数列;


对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列.


3.《九章算术》一书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第十五日所织尺数为( )


A.13B.14C.15D.16


【解析】选C.由题意可知,每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5+a8= 15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=28,设公差为d,由a2+a5+a8=15,得3a5=15,所以a5=5,


由a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15=a5+10d=5+10×1=15.


4.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值


为( )


A.12B.8C.6D.4


【解析】选B.由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8= 4a8=32,所以a8=8,又d≠0,所以m=8.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=,则tan(a3+a9)的值为________.


【解析】因为数列{an}为等差数列,


a2+a6+a10=,


所以a2+a6+a10=3a6=,解得a6=,


所以a3+a9=2a6=,


所以tan(a3+a9)=tan=.


答案:


6.(2020·杭州高二检测)已知各项都不为0的等差数列{an}满足a2-2+a10=0,则a6的值为________.


【解析】因为各项都不为0的等差数列{an}满足a2-2+a10=0,即2a6-2=0,则a6=1.


答案:1


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.成等差数列的四个数之和为26,第二个数和第三个数之积为40,求这四个数.


【解析】设四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,


则


由①,得a=.代入②,得d=±.


所以四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.


8.已知数列{an}为等差数列,且公差为d.


(1)若a15=8,a60=20.求a65的值;


(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.


【解析】(1)等差数列{an}中,


a15=8,a60=20,


解得d=,a65=a60+5d=20+=.


(2)数列{an}为等差数列,


且公差为d且a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,


解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4.


a5=a2+3d,


即13=4+3d或4=13+3d,解得d=3或d=-3.


(15分钟·30分)


1.(5分)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15=( )


A.7B.14C.21D.7(n-1)


【解析】选B.因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.


2.(5分)若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为( )


A.0B.1C.2D.1或2


【解析】选D.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,


所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.


所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.


【加练·固】


等差数列{an}中, a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的情况( )


A.没有实根B.两个相等实根


C.两个不等实根D.无法判断


【解析】选A.由a2+a5+a8=9得a5=3,


所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0.


因为Δ<0,所以方程没有实根.


3.(5分)在等差数列{an}中,a5+a6=4,则lg2(··…·)=________.


【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则lg2(··…·)=lg2=a1+a2+…+a10=20.


答案:20


4.(5分)若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为________.


【解析】设这三个数为a-d,a,a+d,


则


解得a=3,d=4或a=3,d=-4.


所以这三个数为-1,3,7或7,3,-1.


所以这三个数的积为-21.


答案:-21


5.(10分)已知数列a1,a2,…,a30,其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列(d≠0).


(1)若a20=30,求公差d;


(2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围.


【解析】(1)a10=1+9=10,a20=10+10d=30,


所以d=2.


(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),


a30=10,


当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈.





1.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等


于( )


A.-182B.-78C.-148D.-82


【解析】选D.a3+a6+a9+…+a99


=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)


=(a1+a4+…+a97)+2d×33


=50+2×(-2)×33=-82.


【加练·固】


若等差数列{an}的首项a1=5,am=3,则am+2等于( )


A.13 B.3-


C.3-D.5-


【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,


因为a1=5,am=3,所以d==.


所以am+2=am+2d=3+=3-.


2.已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.


(1)求b1和b2;


(2)求数列{bn}的通项公式;


(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项?


【解析】(1)由题意,等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n,设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N*.


所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.


(2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,


所以数列{bn}也为等差数列,且首项b1=-7,公差d'=-20,所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.


(3)因为m=4n-1,n∈N*,


所以当n=110时,m=4×110-1=439,


所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.


【加练·固】


已知两个等差数列{an}和{bn},且{an}为2,5,8,…,{bn}为1,5,9,…,它们的项数均为40项,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?


【解析】由已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为:an=3n-1,bm=4m-3(m,n∈N*,且1≤n≤40,1≤m≤40).


令an=bm,得3n-1=4m-3,


即n==,


令2m-1=3t,因为(2m-1)∈N*且为奇数,


所以t∈N*且为奇数,所以m=,n=2t.


又因为1≤n≤40,1≤m≤40,


所以所以


故≤t≤20,又t∈N*且为奇数,


所以它们共有10个数值相同的项.


关闭Wrd文档返回原板块