高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品当堂检测题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)


1.已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值


为( )


A.9B.C.±D.3


【解析】选B.因为数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,


所以,所以a1 010=1×q1 009=.


2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,则公比q=( )


A.B.或-2


C.2D.


【解析】选B.因为等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,


依题意,2a2-5a2q=3a2q2,


即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,


解得q=或q=-2.


3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是( )


A.3或27B.36C.9 D.15


【解析】选A.设此三数为3,a,b,


则解得或


所以这个未知数为3或27.


4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则( )


A.数列{2an+an+1}是等比数列


B.数列{an+1-an}是等比数列


C.数列{anan+1}是等比数列


D.数列{lg2|an|}是递减数列


【解析】选BC.因为等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,


所以an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.


由此可得2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;


an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{an+1-an}是等比数列,B正确;


anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{anan+1}是等比数列,C正确;


lg2|an|=lg22n-1=n-1,故数列{lg2|an|}是递增数列,D错误.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.已知数列{an}满足lg2an+1-lg2an=1,则=________.


【解析】因为lg2an+1-lg2an=1,所以=2,


所以数列{an}是公比q为2的等比数列,


所以=q2=4.


答案:4


【加练·固】


已知数列{an}满足an+1=3an,且a2·a4·a6=9,则lg3a5+lg3a7+lg3a9=( )


A.5 B.6 C.8 D.11


【解析】选D.根据题意,数列{an}满足an+1=3an,则数列{an}为等比数列,且其公比q=3,


若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,


则lg3a5+lg3a7+lg3a9=lg3(a5·a7·a9)


=lg3(a7)3=lg3(a4q3)3=11.


6.已知公比为q的等比数列{an}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.


【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,


a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.


答案:2或


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.


(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{an}的通项公式;


(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.


【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,


所以5a1+×1=a1(a1+8),


解得a1=-5,或a1=2,


当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,


当a1=2时,an=2+n-1=n+1.


(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,


所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,


当d≠0,a1=-4d时,


q====.


8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.


(1)求数列{an}的首项a1和公比q;


(2)若an>n+100,求n的取值范围.


【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,


所以,解得q=2,a1=1.


(2)由(1)可得an=2n-1,因为an>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N*.


(15分钟·30分)


1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{an}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11= ( )


A.4B.8C.16D.32


【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,


所以q3==2,


因为a2+a5=a2(1+q3)=3,


所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.


2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=( )


A.512B.32C.8D.2


【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=,


B9=b1b2b3…b9=,所以==512.


3.(5分)在正项等比数列{an}中,an+1

【解析】因为数列{an}是正项等比数列,


且a2·a8=6,a4+a6=5,


所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,


联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,


因为an+1

所以q2==,所以==.


答案:


【加练·固】


已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为________.


【解析】由等比数列{an}的性质可得,a3a11=,


由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.


则tan(a1a13)=tan=tan=.


答案:


4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.





【解析】因为=,所以x=1.


因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.


同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.


所以y=5×,z=6×.


所以x+y+z=1+5×+6×==2.


答案:2


5.(10分)已知等比数列{an},a1a2=-,a3=.


(1)求数列{an}的通项公式;


(2)证明:对任意k∈N*,ak,ak+2,ak+1成等差数列.


【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,


若a1a2=-,则q=-,


若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,


解可得:=1,则a1=1,则有q=-,


故an=.


(2)根据题意,an=,


则ak=,ak+1=,


ak+2=;则有


ak+ak+1-2ak+2=+-


2==0,


则有ak+ak+1=2ak+2,故ak,ak+2,ak+1成等差数列.





1.在等比数列{an}中,a1=8,+16=8,则a9的值为________.


【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8,


即+16q2=8,解得q2=,


所以a9=a1q8=8×=.


答案:


2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).


(1)求a1,a2,a3的值;


(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.


【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,


且Sn=2an-3n(n∈N*).


所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,


n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,


n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.


(2)因为Sn=2an-3×n,


所以Sn+1=2an+1-3×(n+1),


两式相减,得an+1=2an+3,


bn=an+3,bn+1=an+1+3,


所以===2,


得bn+1=2bn(n∈N*),且b1=6,


所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列,


所以bn=6×2n-1,


所以an=bn-3=6×2n-1-3=3(2n-1).


【加练·固】


已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*).


(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;


(2)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.


【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana n+1,b3=12,


所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,


又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,


所以d=1,a=2,所以an=n.


(2){an}不能为等比数列,理由如下:


因为bn=anan+1,{bn}是公比为a-1的等比数列,


所以===a-1,


所以a3=a-1,


假设{an}为等比数列,


由a1=1,a2=a得a3=a2,


所以a2=a-1,


所以此方程无解,


所以数列{an}一定不为等比数列.








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