高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品同步训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分)


1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),则m的值是( )


A.4B.5C.6D.7


【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,


因为Sm-1=16,Sm=25,a1=1(m≥2,且m∈N),


所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,


m+d=25,联立解得m=5,d=2.


2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为( )


A.11B.99C.120D.121


【解析】选C.因为an==-,


所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.


3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则|a1|+|a2|+…+|a10| 的值为( )


A.61B.62C.65D.67


【解析】选D.对n分情况讨论当n=1时,S1=a1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,


所以an=


由通项公式得a1

所以|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=102-4×10+1-2×(-3)=67.


4.据科学计算,运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭,在点火后1分钟通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在达到离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( )


A.10分钟B.13分钟


C.15分钟D.20分钟


【解析】选C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列,设第n分钟后通过的路程为an,则a1=2,公差d=2,an=2n,Sn=·n=240,解得n=15或n=-16(舍去).


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,则a5=______,an=________.


【解析】因为Sn=3+2n,


所以a5=S5-S4=3+25-(3+24)=16.


a1=S1=5,


n≥2时,an=Sn-Sn-1


=(3+2n)-(3+2n-1)=2n-1,


当n=1时,上式不成立,所以an=


答案:16


6.(2020·南通高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和.若S9=-a5,a1>0,则使得an>Sn的n的最小值为________.


【解析】因为Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-a5,所以S9=9a5=-a5,所以S9=-a5=0,


所以a1+4d=0,a1=-4d,


由an>Sn,得a1+(n-1)d>na1+d,


即-4d+(n-1)d>-4nd+d,


因为d<0,所以整理得n2-11n+10>0,


解得n>10,所以n的最小值为11.


答案:11


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.已知等差数列{an}的前n项的和为Sn,a3=5,S10=100.


(1)求数列{an}的通项公式.


(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.


【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,


由题意知解得a1=1,d=2.


所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.


(2)bn===


所以Tn


=





==-.


8.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.


(1)若a3=4,求{an}的通项公式.


(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.


【解析】(1)设{an}的公差为d.


由S9=-a5得a1+4d=0.


由a3=4得a1+2d=4.


于是a1=8,d=-2.


因此{an}的通项公式为an=10-2n.


(2)由S9=-a5得a1=-4d,


故an=(n-5)d,Sn=.


由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.


所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.


【加练·固】


若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.


【解析】因为等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,


所以an=13+(n-1)×(-4)=17-4n,


等差数列{an}的前n项和Sn=13n+×(-4)=15n-2n2,


由an=17-4n>0,得n<,


a4=17-16=1,a5=17-4×5=-3,


因为Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,


所以n≤4时,Tn=Sn=15n-2n2,


n≥5时,Tn=-Sn+2S4=2n2-15n+56.


所以Tn=


(15分钟·25分)


1.(5分)已知数列{an}:,+,++,+++,…,那么数列{bn}=的前n项和Sn为( )


A.4 B.4


C.1-D.-


【解析】选A.因为an===,所以bn=== 4.


所以Sn=41-+-+-+…+-=4.


【加练·固】


一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )


A.12 B.16 C.9 D.16或9


【解析】选C.an=120°+5°(n-1)=5°n+115°,an<180°,所以n<13,n∈N*,由n边形内角和定理得(n-2)×180=120n+×5,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N*,所以n=9.


2.(5分)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是( )


A.若S5=S9,则必有S14=0


B.若S5=S9,则必有S7是Sn中的最大项


C.若S6>S7,则必有S7>S8


D.若S6>S7,则必有S5>S6


【解析】选ABC.根据题意,依次分析选项:


对于A,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,则a7+a8=0,S14== =0,A正确;


对于B,若S5=S9,必有S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,又由a1>0,则必有S7是Sn中的最大项,B正确;


对于C,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,又由a1>0,必有d<0,则a8=S8-S7<0,必有S7>S8,C正确;


对于D,若S6>S7,则a7=S7-S6<0,而a6的符号无法确定,故S5>S6不一定正确,D错误.


3.(5分)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则an=________.


【解析】由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①


当n≥2,n∈N+时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1


=(n-1)n(n+1),②


①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)


=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),


所以an=3(n+1)(n≥2,n∈N+).


又当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式,


所以an=3(n+1),n∈N+.


答案:3(n+1)(n∈N+)


4.(10分)数列{an}满足an=6-(n∈N*,n≥2).


(1)求证:数列是等差数列.


(2)若a1=6,求数列{lg an}的前999项的和S.


【解析】(1)数列{an}满足,an=6-(n∈N*,n≥2),所以-=-=


=,所以数列是等差数列.


(2)因为a1=6,所以=.


由(1)知:=+=,


所以an=,所以lg an=lg 3+lg(n+1)-lg n.


所以数列{lg an}的前999项和S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-


lg 999)


=999lg 3+lg 1 000=999lg 3+3.





1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+an+1=2n+1(n∈N*),则S21的值为________.


【解析】将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2,


由an+an+1=2n+1①,可以得到an+1+an+2=2n+3②,②-①得an+2-an=2,所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列,


则a21=1+10×2=21,a20=2+9×2=20,


所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…


+a20)=+=231.


答案:231


2.首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.则d的取值范围为( )


A.d≤-2或d≥2


B.-2≤d≤2


C.d<0


D.d>0


【解析】选A.由S5S6+15=0,


则(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,


整理可得,2+9a1d+10d2+1=0有解,


故Δ=81d2-8(1+10d2)≥0,


解可得,d≥2或d≤-2.








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