人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品第2课时同步测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品第2课时同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题


1．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )


A．－1 B．－2 C．－3 D．－4


C [由a1＋a7＝2a4＝－8可得a4＝－4，又a2＝2，∴a4－a2＝2d，即2d＝－6，d＝－3.]


2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝( )


A．6B．7


C．8D．9


B [∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，


由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，


∴a3＋a4＝3＋4＝7.]


3．在等差数列{an}中，若a2＋a9＝10，则3a4＋a10＝( )


A．10B．15


C．20D．25


C [由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＝2a1＋9d＝10，又由3a4＋a10＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20，故选C.]


4．下列说法中正确的是( )


A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列


B．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列


C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列


D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列


C [因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，


所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，


所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]


5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位)，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”这个问题中，甲所得为( )


A．eq \f(5,4)钱 B．eq \f(4,3)钱 C．eq \f(3,2)钱D．eq \f(5,3)钱


B [根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，①


a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，②


联立①②得a＝1，d＝－eq \f(1,6)，则甲所得为1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＝eq \f(4,3).]


二、填空题


6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________.


132 [在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33.∴a45＝33＋3×33＝132.]


7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．


1或2 [∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，


∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.


∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.]


8．(一题多空)在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________.


2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，


解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.


∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]


三、解答题


9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式．


[解] 法一：设{an}的首项为a1，公差为d，


则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.


代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±eq \f(3,5).


当d＝eq \f(3,5)时，a1＝－eq \f(1,5)，an＝eq \f(3,5)n－eq \f(4,5)；


当d＝－eq \f(3,5)时，a1＝eq \f(41,5)，an＝－eq \f(3,5)n＋eq \f(44,5).


法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4.


a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28，


∴16－25d2＝7，∴d＝±eq \f(3,5).


当d＝eq \f(3,5)时，an＝a8＋(n－8)d＝eq \f(3,5)n－eq \f(4,5)；


当d＝－eq \f(3,5)时，an＝－eq \f(3,5)n＋eq \f(44,5).


法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，


∴a8＝4，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a13＝8，,a3a13＝7，))


∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝1，,a13＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＝7，,a13＝1.))


由a3＝1，a13＝7，得d＝eq \f(a13－a3,13－3)＝eq \f(3,5)，


∴an＝a3＋(n－3)d＝eq \f(3,5)n－eq \f(4,5).


同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－eq \f(3,5)n＋eq \f(44,5).


10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．


[解] 法一：设这三个数为a，b，c(a

法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，


由已知得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝18， ①,a－d2＋a2＋a＋d2＝116， ②))


由①得a＝6，代入②得d＝±2，


∵该数列是递增的，∴d＝2，


∴这三个数为4，6，8.





11．(多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是( )


A．数列{an}是递增数列


B．数列{nan}是递增数列


C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是递增数列


D．数列{an＋3nd}是递增数列


AD [在等差数列{an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，∴B错误；eq \f(an,n)＝eq \f(dn＋b,n)＝eq \f(b,n)＋d.当b＞0时，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列．故D正确，应选AD.]


12．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的eq \f(1,7)是较小的两份之和，则最小的一份的量为( )


A．eq \f(5,2)个 B．eq \f(5,4)个 C．eq \f(5,3)个 D．eq \f(5,6)个


C [易得中间的一份为20个面包，设最小的一份的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×eq \f(1,7)＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝eq \f(5,3).故最小一份的量为eq \f(5,3)个，故选C.]


13．(一题两空)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a3＋b3＝________，an＋bn＝________.


100 100 [设两个等差数列的公差分别为d1，d2，∴a2＝a1＋d1，b2＝b1＋d2，∴a2＋b2＝a1＋b1＋d1＋d2，


即100＝100＋d1＋d2，∴d1＋d2＝0.∴a3＋b3＝a1＋b1＝100，∵d1＋d2＝0，∴{an＋bn}是常数列，即an＋bn＝100.]


14．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则eq \f(d1,d2)的值为________．


eq \f(4,3) [n－m＝3d1，d1＝eq \f(1,3)(n－m)．


又n－m＝4d2，d2＝eq \f(1,4)(n－m)．


∴eq \f(d1,d2)＝eq \f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq \f(4,3).]





15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场平均出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．





甲 乙


请您根据提供的信息说明，求：


(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；


(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；


(3)哪一年的规模最大？请说明理由．


[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10.


从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.


(1)由a1＝1，a6＝2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a1＋5d1＝2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d1＝0.2))⇒a2＝1.2；


由b1＝30，b6＝10，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝30，,b1＋5d2＝10，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝30，,d2＝－4))⇒b2＝26.


∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.


(2)c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．


(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，


bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，


∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．


∵对称轴为n＝eq \f(9,4)，∴当n＝2时，cn最大．


答：(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．