高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列精品巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列精品巩固练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(25分钟·50分)


一、选择题(每小题5分,共20分)


1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )


A.-12B.-10C.10D.12


【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×(-3)=-10.


2.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=12,S10=48,则S15为( )


A.84B.108C.144D.156


【解析】选B.由等差数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10也构成等差数列,


所以2(S10-S5)=S5+S15-S10,


所以2(48-12)=12+S15-48,解得S15=108.


【加练·固】


在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为( )


A.9 B.12 C.16 D.17


【解析】选A.由等差数列的性质知S4,


S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,


不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,


于是求得b3=5,b4=7,b5=9,


即a17+a18+a19+a20=b5=9.


3.(2020·徐州高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a14=-8,S9=-9,则S18


=( )


A.-162B.-1C.3D.-81


【解析】选D.根据题意,等差数列{an}中,


S9==9a5=-9,解可得a5=-1,


又由a14=-8,则S18===-81.


4.若等差数列{an}满足a5=11,a12=-3,{an}的前n项和Sn的最大值为M,则lg M


=( )


A.1B.2C.10D.100


【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,


则7d=a12-a5=-3-11=-14,故d=-2,


所以an=a12+(n-12)d=-3-2(n-12)=21-2n,


所以当1≤n≤10时,an>0;


当n≥11时,an<0,当n=10时,Sn最大,


最大值为M=S10===100,


所以lg M=lg 100=2.


【加练·固】


{an}为等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,S6>S7>S5,则下列结论中不正确的是( )


A.d<0 B.S11>0


C.S12<0D.S13<0


【解析】选C.S6>S7>S5,则d<0,a6>0且a7<0,所以S11==>0, S13==<0,S12===6(a6+a7),因为S7=S5+a6+a7>S5,所以a6+a7>0,所以S12>0,故选项C错误.


二、填空题(每小题5分,共10分)


5.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=________.


【解析】设等差数列的公差为d.


因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,


根据等差数列通项公式:an=a1+d,


可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,


整理可得:6d=6,解得:d=1.


根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,n∈N*,


可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25.


答案:25


6.(2020·南京高二检测)已知等差数列{an}中,a3-2a4=-1,a3=0,则{an}的前10项和是________.


【解析】设等差数列{an}的公差为d,


因为a3-2a4=-1,a3=0,


所以0-2(0+d)=-1,a1+2d=0,


解得d=,a1=-1,


则{an}的前10项和=-10+×=.


答案:


三、解答题(每小题10分,共20分)


7.等差数列{an}中,已知a1+a2=5,S4=14.


(1)求{an}的通项公式.


(2)求{an}的前n项和Sn.


【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,


则由a1+a2=5,S4=14得,


即


解得a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)=n+1.


(2)由(1)可知,Sn=a1+a2+…+an


=na1+=.


8.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.


(1)求{an}的通项an.


(2)求{an}前n项和Sn的最大值及相应的n的值.


【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,


因为a2=1,a5=-5,


所以


解得


所以an=3-2(n-1)=5-2n.


(2)由an≥0,解得n≤2.5,


数列{an}的前2项和最大,且最大值为3+1=4.


(15分钟·30分)


1.(5分)在等差数列{an}中,前四项之和为20,最后四项之和为60,前n项之和是100,则项数n为( )


A.9B.10C.11D.12


【解析】选B.因为a1+a2+a3+a4=20,①


an+an-1+an-2+an-3=60,②


又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,


所以①+②得4(a1+an)=80,所以a1+an=20.③


Sn==100.④


将③代入④中得n=10.


2.(5分)(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0, a7<0,则( )


A.a6>0


B.-

C.Sn<0时,n的最小值为13


D.数列中的最小项为第六项


【解析】选ABC.根据题意,等差数列{an}中,S12>0,即S12===6(a6+a7)>0,


又a7<0,则a6>0,A正确;


已知a3=12,且a6>0,a7<0,a6+a7>0,


则有,


解可得-

根据题意,S13==13a7<0,而S12>0,


故Sn<0时,n的最小值为13,C正确;


数列中,由上面分析可知d<0,所以数列{an}是递减的等差数列,当1≤n≤6时,an>0;当n≥7时,an<0;当1≤n≤12时,Sn>0;当n≥13时,Sn<0,


所以当1≤n≤6时,>0;当7≤n≤12时,<0;


当n≥13时,>0,故数列中的最小项不是第六项,D错误.


3.(5分)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.


【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,


所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),


所以====4.


答案:4


【加练·固】


设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=________.


【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.


答案:4


4.(5分)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=4S5=100,则数列{an}的通项公式为________.


【解析】设公差为d,由S10=4S5=100,


可得,解得a1=1,d=2,


故an=2n-1(n∈N*).


答案:an=2n-1(n∈N*)


5.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72,bn=an-30.


(1)求通项an.


(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.


【解析】(1)由a3=10,S6=72,得


所以an=4n-2.


(2)由(1)得bn=an-30=2n-31.


由得≤n≤,


因为n∈N*,所以n=15.所以{bn}的前15项为负值,


所以T15最小,可知b1=-29,d=2,所以T15=-225.





1.已知数列{an}是等差数列,且an>0,若a1+a2+…+a100=500,则a50·a51的最大值为________.


【解析】a1+a2+…+a100=500=,


a50+a51=10.又an>0.


则a50·a51≤=25,


当且仅当a50=a51=5时取等号.


答案:25


2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.


(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn;


(2)是否存在正整数n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.


【解析】(1)设数列{an}的公差为d,


则所以


所以an=4-6(n-1)=10-6n,


Sn=na1+d=7n-3n2.


(2)由(1)知Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2


=-6n2-4n-6,2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)


=-6n2-6n+4,


若存在正整数n使得Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,所以存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.








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