人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列同步练习题

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4.2.1.2等差数列的性质

要点一　等差数列的性质
(1)在等差数列{an}中，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则 ．
(2)若{an}为公差为d的等差数列，则{can}是公差为cd的等差数列．
(3)若{an}为公差为d的等差数列，则{an＋an＋k}(k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(5)若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋pbn}是以为公差的等差数列．
(6)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(7)当d>0时，数列{an}为单调递增数列；当d1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
故bn＝4n.
题型三　等差数列的实际应用
【例3】某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解析】设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an0，公差d≠0，前n项和为Sn（n∈N*），则下列命题正确的是（ ）
A．若S3=S11，则必有S14=0
B．若S3=S11，则S7是{Sn}中的最大项
C．若S7>S8，则必有S8>S9
D．若S7>S8，则必有S6>S9
【答案】ABCD
【分析】
对于A、B：根据等差数列的性质及是关于n的二次函数判断；
对于C、D：判断出公差d的正负及性质可以判断.
【解析】
根据等差数列的性质，若S3=S11，则S11-S3=4（a7+a8）=0，则a7+a8=0，S14==7（a7+a8）=0.故A正确；
是关于n的二次函数，根据Sn的图象，当S3=S11时，对称轴是=7，且dS8，则a8