初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式教学设计

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式教学设计，共5页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，总结升华，答案与解析等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.


2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.


3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.


【知识网络】





【要点梳理】


要点一、二次根式的相关概念和性质


1. 二次根式


形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.


要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.


2.二次根式的性质


（1）；


（2）；


（3）.


要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.


（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.


（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.


（4）与的异同


不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；


=，=（）.


相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.


3. 最简二次根式


（1）被开方数是整数或整式；


（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.


满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.


要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.


4.同类二次根式


几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.


要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.


要点二、二次根式的运算


1. 乘除法


（1）乘除法法则：


要点诠释：


（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.


（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.


2.加减法


将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.


要点诠释：


二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.


【典型例题】


类型一、二次根式的概念与性质


1． 当________时，二次根式在实数范围内有意义.


【答案】≥3.


【解析】根据二次根式的性质，必须≥0才有意义.


【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.


举一反三


【变式】①成立的条件是 .


②成立的条件是 .


【答案】① ≤0；(≤0.)


② 2≤.(2≤)


2．当0≤<1时，化简的结果是__________.


【答案】 1.


【解析】因为≥0，所以=；又因为<1,即-1<0,所以，


所以=+1-=1.


【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即=，同时联系绝对值的意义正确解答.


举一反三


【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________．


【答案】5.


解：∵﹣=2，


∴=+2，


两边平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4，


∴2=3，


两边平方得4（15﹣x2）=9，


化简，得x2=，


∴+=+=5．


故答案为：5．


3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.


A. B. C. D.


【答案】A.


【解析】选项B：=；选项C：有分母；选项D：=，所以选A.


【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；


（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.


类型二、二次根式的运算


4．（2016•来宾）下列计算正确的是（ ）


A．﹣= B．3×2=6


C．（2）2=16 D．=1


【答案】B.


【解析】解：A、不能化简，所以此选项错误；


B、3×=6，所以此选项正确；


C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；


D、==，所以此选项错误；


故选B．


【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．


举一反三


【变式】计算：


【答案】.


5.化简.


【答案与解析】





【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.


6.已知的值.


【答案与解析】





【总结升华】 化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.


举一反三


【变式】已知=-3, =1,求的值.


【答案】∵=-3,=1，∴,


.


类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：



二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：