专题 16.13 《二次根式》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题 16.13 《二次根式》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.

2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.

3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、二次根式的相关概念和性质

1. 二次根式

 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）；
（2）；
（3）.

特别说明：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.

（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3. 最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

  几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

要点二、二次根式的运算

1. 乘除法

（1）乘除法法则：

特别说明：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

    （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

2.加减法

 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

特别说明：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念与性质 

1． 若在实数范围内有意义，则的取值范围是____________．

【答案】且

【分析】

根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可．

解：由题意得且

解得

且

故答案为：且

【点拨】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．

举一反三

【变式1】函数的自变量的取值范围是______．

【答案】且

【分析】据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．

解：根据题意得：，

解得：且．

故答案为：且．

【点拨】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式和分式有意义的条件分别为：被开方数大于等于0，分母不为0．

【变式2】若实数 x ，y满足等式：，则xy=_________

【答案】-4

【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到则，由此即可求出，然后代值计算即可．

解：∵有意义，

∴，

∴即，

∴，

∴，

故答案为：-4．

【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0．

2．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果为（    ）

A．2a－b B．－3b C．b－2a D．3b

【答案】B

【分析】根据数轴上点的坐标特点，判断出可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，再把二次根式化简即可．

解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a-2b＞0，a+b＜0，
∴

=

=-（a+b）
=a-2b-a-b

=-3b．
故选：B．

【点拨】本题主要考查了绝对值的意义和根据二次根式的意义化简，二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．

举一反三
【变式】已知实数a满足条件，那么的值为　　

A．2010 B．2011 C．2012 D．2013

【答案】C

【分析】

由题意可知a-2012≥0，可得，移项后平方得a-2012=20112，变形得a-20112=2012．

解：∵有意义，

∴a-2012≥0，

∴a≥2012，

∴2011-a＜0，

∴，

∴

∴a-2012=20112，

∴a-20112=2012．

故选C．

【点拨】本题考查二次根式有意义条件，化简绝对值，代数式的值，掌握二次根式有意义条件得出a≥2012，化简绝对值得出a-2012=20112是解题关键．

3.下列根式中，最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据最简二次根式的概念进行判断即可．

解：A、=3不是最简二次根式，不符合题意；

B、是最简二次根式，符合题意；

C、不是最简二次根式，不符合题意；

D、不是最简二次根式，不符合题意,

故选：B．

【点拨】本题考查最简二次根式概念以及性质，理解概念是解答的关键．

【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．

解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意；

B. 是最简二次根式，符合题意；

C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意．

故选：B．

【点拨】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式．

【变式2】下列各式：① ②  ③  ④ 是最简二次根式的是:_____（填序号）

【答案】②③

【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．

解：②   ③   是最简二次根式，

故答案为②③．

【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

类型二、二次根式的运算

4．计算：．

【答案】．

【分析】根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．

解：

．

【点拨】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

举一反三

【变式1】计算：

（1）；   （2）．

【答案】（1）；（2）4．

【分析】

（1）先根据立方根、绝对值、负整数次幂、零次幂的知识化简，然后再计算即可；

（2）根据二次根式的四则混合运算法则解答即可．

解：（1）

=

=；

（2）

=

=

=4．

【点拨】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，牢记相关知识点成为解答本题的关键．

【变式2】化简：

（1）     （2）

【答案】（1）；（2）-2

【分析】

(1)先利用乘法的分配律去掉括号，分母有理化，再用二次根式的加减计算即可；
(2)先利用平方差公式计算前面部分，同时化简二次根式，再计算乘方和除法，再有理数减法即可．

解：（1），

，

．

（2），

，

=9-8-3，

=-2．

【点拨】本题主要考查二次根式的加减法乘除混合计算以及平方差公式，解题的关键是熟练地掌握二次根式的运算法则，以及掌握平方差公式及其变形．

5.．先化简，再求值：，其中．

【答案】；.

【分析】根据题意利用平方差公式和整式乘法运算进行化简，进而代入利用实数的运算法则进行计算即可.

解：

把代入可得：.

【点拨】本题考查含算术平方根的整式化简，熟练掌握平方差公式和整式乘法运算法则以及算术平方根性质是解题的关键.

6己知，求的值．

【答案】．

【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可．

解：∵，

，

∴，，

∴．

【点拨】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键．

举一反三

【变式】已知求x2＋3xy＋y2的值．

【答案】14

【分析】先计算出，，再由x2＋3xy＋y2＝(x＋y) 2＋xy进行求解即可．

解：∵，，

∴，，

∴x2＋3xy＋y2

＝x2＋2xy＋y2＋xy

＝(x＋y) 2＋xy

＝＋2

＝14．

【点拨】本题主要考查了实数的运算，代数式求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够根据题意得到x2＋3xy＋y2＝(x＋y) 2＋xy．

类型三、二次根式综合题

7.若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．

例如：因为，所以是的完美平方根．

（1）已知是的完美平方根，求a的值．

（2）若是的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．

（3）已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

【答案】（1）；（2），；（3）或是的完美平方根

【分析】

（1）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等求a的值；

（2）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等原理计算即可．

（3）构造完全平方公式，用对应项系数相等建立等式计算．

解：（1）∵是的完美平方根，

∴，

∴．

（2）∵是的完美平方根，

∴，

∴，．

（3）∵，

∴或是的完美平方根．

【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，理解新定义，活用完全平方公式，恒等式的对应项相等是解题的关键．

举一反三

【变式】阅读下面计算过程：

1；

；

2．

求：（1）的值．

（2）（n为正整数）的值．

（3）的值．

【答案】（1）；（2）；（3）9．

【分析】

（1）根据示例，进行计算即可；

（2）从示例以及（1）可以观察出式子的特征，并进行计算；

（3）根据（2）中的特征，对式子进行拆分，各项进行消除即可．

解：（1）；

（2）；

（3）

（1）+（）+（2）+…+（10）

＝10﹣1

＝9．

【点拨】本题为类比探究问题，利用示例进行计算，并进行发散是解题的关键．