初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式教案

这是一份初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式教案，共6页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，总结升华，答案与解析等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.


2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.


3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.


【知识网络】





【要点梳理】


知识点一、二次根式的相关概念和性质


1. 二次根式


形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.


要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.


2.二次根式的性质


（1）；


（2）；


（3）.


要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.


（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.


（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.


（4）与的异同


不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；


=，=（）.


相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.


3. 最简二次根式


1）被开方数是整数或整式；


2)被开方数中不含能开方的因数或因式.


满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.


要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.


4.同类二次根式


几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.


要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.


知识点二、二次根式的运算


1. 乘除法


（1）乘除法法则：


要点诠释：


（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.


（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.


2.加减法


将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.


要点诠释：


二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.


【典型例题】


类型一、二次根式的概念与性质


1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？


(1)； (2).


【答案】（1）;


（2）.


【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，


则必有


∴当时，在实数范围内有意义；


(2) 要使在实数范围内有意义，则必有





∴当时，在实数范围内有意义；


【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.


举一反三：


【变式】已知，求的值.


【答案】根据二次根式的意义有


将代入已知等式得


2.（2016•柘城县校级一模）把 中根号外的因式移到根号内的结果是( ).


A． B． C． D．


【答案】A.


【解析】由二次根式的意义知 ，则


.


【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。


举一反三：


【变式】（2014春•团风县校级期中）已知x为奇数，且=，


求•．





【答案】解：∵=，


∴6≤x＜9，


∵x为奇数，


∴x=7，


则•=8×=12．


3. 实数在数轴上对应的点如图：





化简.


【答案与解析】由数轴可知并且








=


=


=


【总结升华】本题不仅考查了二次根式和绝对值的化简问题，同时考查了学生的观察能力.通过观察确定的大小关系是本题的关键.


举一反三：


【变式】ABC的三边长为a、b、c，则= .


【答案】.


类型二、二次根式的运算


4．（2015•昆山市一模）计算


（1）


（2）．


【答案与解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；


（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．


【总结升华】此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算 公式是解决问题的关键．


举一反三：


【变式】计算


【答案】 5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简





【答案与解析】∵a、b、c为△ABC的三边长，


∴原式





【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.


6.若，化简.


【答案与解析】





【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.


举一反三：


【变式】当.


【答案】


，


将代入，原式=3.类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：



二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：