2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习15 复数及其运算（解析版）

练习15 复数及其运算

1．（2020秋•南京期中）已知复数z满足（2+i）z＝1﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．

【解答】解：复数z满足（2+i）z＝1﹣2i，

所以z＝＝＝﹣i．

故选：D．

2．（2020秋•鼓楼区校级期中）设z＝，则z的虚部为（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵z＝＝＝＝+i，

∴z的虚部为，

故选：A．

3．（2020秋•徐州期中）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】先由复数的运算化简z，再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出结论、

【解答】解：z＝＝＝＝+i，

故其对应的点的坐标为（，），位于第一象限．

故选：A．

4．（2020秋•常州期中）i是虚数单位，复数＝（　　）

A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：＝．

故选：B．

5．（2020秋•无锡期中）复数z＝i（﹣1﹣2i）的共轭复数为（　　）

A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【解答】解：∵z＝i（﹣1﹣2i）＝2﹣i，

∴＝2+i．

故选：B．

6．（多选）（2020秋•海门市校级期中）已知复数z在复平面上对应的向量，则（　　）

A．z＝﹣1+2i B．|z|＝5 C．＝1+2i D．z•＝5

【分析】由题意可得z＝﹣1+2i，再由复数的模的公式和共轭复数的定义、复数的乘法运算，可判断正确结论．

【解答】解：由题意可得z＝﹣1+2i，|z|＝＝，

＝﹣1﹣2i，

z•＝（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）＝1+4＝5，

则A、D正确，B、C错误．

故选：AD．

7．（多选）（2020春•淮安月考）已知复数（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2则下列结论正确的是（　　）

A．z3＝8 B．z的虚部为 

C．z的共轭复数为 D．z2＝4

【分析】由已知求解a，进一步求出z2与z3的值，然后逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：∵复数在复平面内对应的点位于第二象限，

∴a＜0，

又|z|＝＝2，得a＝﹣1（a＜0），

∴，

则，

．

∴A正确，B正确，

故选：AB．

8．（2020春•江苏月考）已知复数i（a+i）的模为1（其中i是虚数单位），则实数a的值为　 　．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求解a值．

【解答】解：∵|i（a+i）|＝|﹣1+ai|＝，

∴a2＝0，即a＝0．

故答案为：0．

9．（2020春•常熟市期中）复数z满足（其中i是虚数单位），则复数z的模等于　　  ．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【解答】解：∵＝，

∴|z|＝．

故答案为：．

10．（2020春•连云港期末）已知i为虚数单位，设z1＝2+3i，z2＝m﹣i（m∈R），若为实数，则m＝　  　．

【分析】把z1＝2+3i，z2＝m﹣i（m∈R）代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解m值．

【解答】解：∵z1＝2+3i，z2＝m﹣i，

∴，要使为实数，

则3m+2＝0，解得．

故答案为：．

11．（2020春•镇江期末）已知a，b∈R，1+ai＝b+（2a+3）i，则a＝　  　，|a+3bi|＝　    　．

【分析】根据复数相等，建立方程求出a，b即可得到结论．

【解答】解：∵1+ai＝b+（2a+3）i

∴，得，

则|a+3bi|＝|﹣3+3i|＝＝＝3，

故答案为：﹣3，3

12．（2020春•张家港市期中）已知z1，z2为虚数，且满足|z1|＝5，z2＝3+4i．

（1）若z1z2是纯虚数，求z1；

（2）求证：为纯虚数．

【分析】（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），由题意列关于a，b的方程组，求解可得z1；

（2）把z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0）代入，再由复数代数形式的乘除运算化简即可证明为纯虚数．

【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），

由|z1|＝5，得a2+b2＝25，①

由z1z2＝（a+bi）（3+4i）＝（3a﹣4b）+（4a+3b）i是纯虚数，

得3a﹣4b＝0，且4a+3b≠0，②

联立①②解得a＝4，b＝3或a＝﹣4，b＝﹣3．

∴z1＝4+3i或z1＝﹣4﹣3i；

证明：（2）＝＝

＝．

由a2+b2＝25，b≠0，可知为纯虚数．

13．（2020春•江阴市期中）当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．

【解答】解：∵|z+2|＝|（z+3﹣4i）+（﹣1+4i）|≥|﹣1+4i|﹣|z+3﹣4i|＝﹣1＝﹣1

∴|z+2|的最小值是﹣1．

故选：B．

14．（2020秋•海门市校级期中）已知k∈Z，i为虚数单位，复数z满足：i2kz＝1﹣i，则当k为奇数时，z＝　   　；当k∈Z时，|z+1+i|＝　  　．

【分析】当k是奇数时，z＝﹣1+i，当k是偶数时，z＝1﹣i，从而求出|z+1+i|的值即可．

【解答】解：k是奇数时：i2k＝﹣1，

∵i2kz＝1﹣i，

∴z＝﹣1+i，

∴|z+1+i|＝2，

k是偶数时：i2k＝1，

∵i2kz＝1﹣i，

∴z＝1﹣i，

∴|z+1+i|＝2，

综上，|z+1+i|＝2，

故答案为：﹣1+i，2．

15．（2020春•无锡期末）已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．

（1）求复数z的共轭复数；

（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

【分析】（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，由虚部为0求得y值．再把利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x值，则z可求，可求；

（2）把（z+mi）2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m的范围．

【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，

∵z+2i∈R，∴y+2＝0，即y＝﹣2．

又∈R，

∴x﹣4＝0，即x＝4．

∴x＝4﹣2i，则；

（2）∵m为实数，且（z+mi）2＝[4+（m﹣2）i]2＝（12+4m﹣m2）+8（m﹣2）i，

由题意，，解得﹣2＜m＜2．

∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．