2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习11 空间向量的应用（解析版）

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练习11 空间向量的应用

1. （2020春•杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则

A. B. C. D. l与斜交

【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系属基础题．
由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．
【解答】解：，，，．
故选B．
2. （2020•安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为

A. B. C. D.

【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题．
根据空间向量夹角公式求解即可．
【解答】解：，

，
，
向量与的夹角为．
故选C．

3. （2020•闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为

A. B. C. D.

【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。
由题意可得是平面ABCD的一个法向量，设与的夹角为，利用夹角公式，向量的加减运算以及向量的模长公式，即可得出，则SC与平面ABCD所成角可得．
【解答】解：由题意可知，是平面ABCD的一个法向量，
设与的夹角为，，，又，，
，，
与平面ABCD所成角的余弦值故选C．

4. （2020•贵阳模拟）在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是

A. 垂直 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定

【分析】本题考查线面平行的判定，在适当条件下，可以用向量法证明，只需证明该直线的一个方向向量与该平面的一个法向量垂直即可．要注意的是这两个向量必须用同一组基底来表示．属于一般难度题．
由于平面，所以是平面的法向量，因此只需证明向量与垂直即可，而和又可以作为一组基底表示向量，因此可以证明．
【解答】解：正方体棱长为a，，
，，

，
又是平面的法向量，
且，
，
平面．
故选C．
5. （2020春•温州期末）如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱上，且平面，则AP的长为

A.
B.
C. 1
D. 与AB的长有关

【分析】本题考查利用空间向量解决线面平行问题．
建立如图所示的空间坐标系，设出P点坐标，求出面的一个法向量，由即可求解．
【解答】解：以点A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图．

设，则0，，1，，1，，0，，
设点P的坐标为0，，
故0，，1，，
又设平面的法向量为y，．
因为平面，所以，，得
取，得平面的一个法向量为．
因为平面，所以，有，解得．
所以AP的长为．

6. （2020•鼓楼区校级模拟）二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为

A. B. C. D.

【分析】本题考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间向量的加法、模、夹角及数量积运算属于基础题．由题意及空间向量的加法可知，根据空间向量的数量积运算，结合空间向量的模、夹角，可得，，求出，，即可得出二面角的大小．
【解答】解：由题意知，，
，

，，
解得，，
则，，
所以二面角的大小为，故选C．

7. （多选）（2020•东阳市模拟）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，2，，2，，下列结论正确的有

A. B.
C. 是平面ABCD的一个法向量 D.

【分析】本题考查空间向量垂直平行的判定，属于基础题．
根据向量垂直的充要条件是向量积为0来进行判断即可．
【解答】解：，，即，A正确；
，，即，B正确；
由，，可得是平面ABCD的法向量，C正确；
BD在平面ABCD内，可得，D错误．
故答案为ABC．

8. （2020•江苏模拟）已知，，若，，且平面ABC，则y，等于________．

【答案】

【分析】本题考查空间向量的坐标运算及利用空间向量证明线面位置关系属基础题．
由题意，，，且，列方程求解即可．
【解答】

解：，故．

，

且，

得，．

9. （2020•南通模拟）已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则向量与所成角的大小是．

【答案】

【分析】本题考查空间向量所成的角，属于基础题．
根据题意，利用向量的夹角公式即可得出结果．
【解答】解：不妨设棱长为2，则，，

，，
故向量与所成角的大小是．

10. （2020•清江浦区校级模拟）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G为的重心，则PG与底面ABCD所成角的正弦值为．

【答案】

【分析】本题主要考查向量法求线面角，考查三角形重心的坐标公式属于中档题，求出PG的方向向量及面ABCD的法向量代入公式计算即可，
【解答】解：如图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由已知，得0，，0，，0，，1，，1，，
则重心，
因而0，，，
设PG与底面ABCD所成的角为，
则，．
11. （2020春•沭阳县期中）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，E为PD的中点，点N在面PAC内，且平面PAC，则点N到AB的距离为__________

【答案】

【分析】本题考查点到直线的距离的求法，是中档题，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点N到AB的距离．
【解答】
解：如下图，

因为棱底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以在四棱锥中，
以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，连立空间直角坐标系，已知，，
则0，，0，，1，，1，，0，，PD的中点，
，
点N在面PAC内，则其在面ABCD的投影在AC上，设y，，，
平面PAC，所以，联立解得
则点N到AB的距离为．
故答案为．