2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习9 抛物线（解析版）



练习9 抛物线



1．（2020秋•如皋市期中）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为．则实数p值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点P（m，1）到焦点F的距离为．
可得+1＝，解得p＝．
故选：C．
2．（2020秋•镇江期中）抛物线y2＝4x的准线与双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线所围成的三角形面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】求出抛物线y2＝4x的准线与双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线方程，然后求解三角形的边长利用面积公式求出三角形的面积即可．
【解答】解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，
双曲线4x2﹣y2＝1的两条渐近线方程分别为：y＝2x，y＝﹣2x，x＝﹣1时，y＝±2，
因此，所求三角形面积等于＝2．
故选：B．
3．（2020秋•广陵区校级期中）过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝2上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．9
【分析】设直线l方程为x＝my+2，联立方程组消元，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据根与系数的关系计算|y1﹣y2|，于是 S△AOB＝|OF|×|y1﹣y2|．
【解答】解：F（2，0），设直线l的方程为：x＝my+2，
联立方程组，消去x可得y2﹣8my﹣16＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣16，
∵线段AB的中点M在直线y＝2上，∴y1+y2＝4，
∴|y1﹣y2|＝＝＝4，
∴S△AOB＝|OF|×|y1﹣y2|＝4＝4．
故选：B．

4．（2020秋•如皋市月考）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则|MF|+|NF|＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设出M、N的坐标，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的性质推出|MF|+|NF|即可．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），过点（﹣2，0）且斜率为的直线方程为y＝（x+2），
联立，
可得x2﹣5x+4＝0，x1+x2＝5，
则|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝5+2＝7．
故选：C．
5．（2020秋•镇江期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2＝弦2”，设直线l交抛物线y＝x2于A，B两点，若|OA|，|OB|恰好是Rt△OAB的“勾”“股”（O为坐标原点），则此直线l恒过定点（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（0，2） D．（0，4）
【分析】设直线l：y＝mx+b，代入抛物线x2＝4y，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论．
【解答】解：设直线l：y＝mx+b，（b≠0），代入抛物线x2＝4y，可得x2﹣4mx﹣4b＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4b，
∴x12x22＝16y1y2＝16b2，∴y1y2＝b2，
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，
可得b2﹣4b＝0，
∵b≠0，∴b＝4，∴直线l：y＝mx+4，
∴直线l过定点（0，4）．
故选：D．
6．（多选）（2020秋•鼓楼区校级月考）已知直线l：2kx﹣2y﹣kp＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，以AB为直径的圆与抛物线C的准线的公共点是点M（﹣1，﹣1），则下列结论正确的是（　　）
A．p＝2 B．k＝﹣2
C．AB＝5 D．△MAB的面积为5
【分析】根据M点横坐标和准线方程计算p，联立方程组消元，根据AB中点纵坐标为﹣1和根与系数的关系计算k，根据弦长公式计算AB，求出M到AB的距离，计算三角形MAB的面积．
【解答】解：∵M（﹣1，﹣1）在抛物线的准线x＝﹣上，∴﹣＝﹣1，即p＝2，故A正确；
由题意可知以AB为直径的圆与准线x＝﹣1相切，设AB的中点为D，则D点纵坐标为﹣1，
联立方程组，消去x可得y2﹣﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝＝﹣2，∴k＝﹣2，故B正确；
又y1y2＝﹣4，∴|AB|＝•＝•＝5，故C正确；
直线AB的方程为：﹣4x﹣2y+4＝0，即2x+y﹣2＝0，∴M（﹣1，﹣1）到直线AB的距离d＝＝，
∴△MAB的面积为S＝＝＝，故D错误，
故选：ABC．
7．（多选）（2020秋•如皋市期中）已知抛物线C：y2＝4x，其焦点为F，P为直线x＝﹣2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为k1，k2，则（　　）
A． B．|k1﹣k2|＝2
C．AB过定点（2，0） D．AF•BF的最小值为8
【分析】设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，对抛物线的方程两边对x求导，可得切线的斜率，切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；
由切线的斜率相减，化简可判断B；求得AB的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D．
【解答】解：由题意可得F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，
设P（﹣2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
则y12＝4x1，y22＝4x2，
对y2＝4x两边对x同时求导，可得2yy′＝4，即y′＝，
所以过A的切线的方程为x﹣x1＝＝（y﹣y1），化为x＝y﹣①，
同理可得过B的切线方程为x＝y﹣②，
由①②解得x＝，由P的横坐标为﹣2，即＝﹣2，则y1y2＝﹣8，k1k2＝＝﹣，故A正确；
因为|k1﹣k2|＝||＝||不为定值，故B错误；
因为AB的直线方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝y1+x﹣，
即y＝（x﹣2），所以AB恒过定点（2，0），故C正确；
将|AF|，|BF|转化为到准线的距离，即|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝+1+（+）
＝5+（+）≥5+2＝9，当且仅当|y1|＝|y2|时取得等号，
所以|AF|•|BF|的最小值为9，故D错误．
故选：AC．
8．（2020秋•海安市期中）抛物线的准线方程是y＝1，则其标准方程是　 　．
【分析】根据准线方程为y＝1，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2＝﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．
【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正负半轴，
设抛物线标准方程为：x2＝﹣2py（p＞0），
∵抛物线的准线方程为y＝1，
∴＝1，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为：x2＝﹣4y．
故答案为：x2＝﹣4y．
9．（2020秋•镇江期中）抛物线C：y2＝2px的焦点F是圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，P为抛物线C上在第一象限内的点，且PF＝3，则P点的坐标为　 　．
【分析】求出圆的圆心，然后求解抛物线方程得到抛物线的准线方程，通过抛物线的定义转化求解P点的坐标．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0的圆心（1，0），所以抛物线的焦点坐标（1，0），所以p＝2，
抛物线方程为：y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，P为抛物线C上在第一象限内的点，且PF＝3，
所以P的横坐标为：2，当x＝2，可得y＝2．
所以P点的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．
10．（2020秋•六合区校级月考）设抛物线y2＝2x上两点A，B位于x轴的同侧，且A，B两点的横坐标之积为4，则直线AB经过的定点坐标是　 　．
【分析】设A，B同在第一象限，设直线AB的方程为y＝kx+b（k＞0，b＞0），联立抛物线的方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理，可得k，b的关系式，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点．
【解答】解：可设A，B同在第一象限，设直线AB的方程为y＝kx+b（k＞0，b＞0），
代入抛物线y2＝2x，可得k2x2+（2kb﹣2）x+b2＝0，
则△＝（2kb﹣2）2﹣4k2b2＞0，
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
可得x1x2＝＝4，即b＝2k，
则直线AB的方程为y＝kx+2k，即y＝k（x+2），
则直线AB恒过定点（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
11．（2020秋•如皋市月考）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，设点A（p，1），点M为抛物线C上任意一点，且MA+MF的最小值为3，则p＝　 　，若线段AF的垂直平分线交抛物线C于P、Q两点，则四边形APFQ的面积为　 ．
【分析】讨论A与抛物线的关系，分情况求出MA+MF的最小值即可得出p的值，根据弦长公式计算PQ，计算F到PQ的距离得出四边形的面积．
【解答】解：把x＝p代入y2＝2px可得y＝±p，
若p＞1，即p＞，则MA+MF的最小值为A到准线x＝﹣的距离，
∴＝3，p＝2，符合题意；
若p≤1，即0＜p≤，则MA+MF的最小值为AF＝＝，
∴＝3，解得p＝4（舍去），
综上，p＝2．
显然A（2，1），F（1，0），故AF的中点为（，），直线AF的斜率为＝1，
∴线段AF的中垂线方程为y＝﹣x+2，即x+y﹣2＝0，
联立方程组，消元可得：x2﹣8x+4＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝8，x1x2＝4，
∴PQ＝•＝＝4，
又F（1，0）到直线PQ的距离为＝，
∴四边形APFQ的面积为S＝2S△FPQ＝2××＝4．
故答案为：2，4．
12．（2020秋•六合区校级月考）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（m，2）到其焦点F的距离为2．
（1）求该抛物线的标准方程；
（2）过x轴正半轴上一点N（n，0）作倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求+的值．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和M满足抛物线的方程，解得p，进而得到所求抛物线的方程；
（2）求得直线l的方程，联立抛物线的方程，消去y，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简可得所求和．
【解答】解：（1）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，
由M（m，2）到其焦点F的距离为2，可得m+＝2，且4＝2pm，
解得p＝2，m＝1，
则抛物线的方程为y2＝4x；
（2）由题意可得直线l的方程为y＝x﹣n，
联立抛物线的方程y2＝4x，可得x2﹣（2n+4）x+n2＝0，
则△＝（2n+4）2﹣4n2＞0，即n＞﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝2n+4，x1x2＝n2，
k1＝，k2＝，
则+＝+＝+＝＝＝1．



13．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（　　）

A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
【分析】分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|＝a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【解答】解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，
设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
所以p＝|FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．
故选：B．

14．（2020春•清江浦区校级期末）已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为　 　．
【分析】可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，联立y＝t与抛物线的方程，以及y＝t+1与抛物线的方程，运用韦达定理和求根公式，求得|AB|，|CD|，|AD|，再由梯形的面积公式和勾股定理、换元法和基本不等式可得所求最小值．
【解答】解：可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，
由y＝t与y＝x2+ax+b联立，可得x2+ax+b﹣t＝0，
即有△1＝a2﹣4（b﹣t），由于b≤0，t≥1，可得△1＞0恒成立，
x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣t，则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝，
由y＝t＝1与y＝x2+ax+b联立，可得x2+ax+b﹣t﹣1＝0，
则△2＝a2﹣4（b﹣t﹣1），由于b≤0，t≥1，可得△2＞0恒成立，
即有x3+x4＝﹣a，x3x4＝b﹣t﹣1，则|CD|＝|x3﹣x4|＝＝，
可得S＝（|AB|+|CD|）×1＝（+），
又AD2＝1+（x1﹣x4）2＝1+（﹣）2＝1+（（﹣）2，
设u＝，v＝，则v2﹣u2＝4，即v﹣u＝，
则S2+16AD2＝（u+v）2+16+4（u﹣v）2＝（u+v）2++16≥2+16＝4+16＝20．
当且仅当（u+v）2＝即u+v＝4时，上式取得等号．
则S2+16AD2的最小值为20．
故答案为：20．
15．（2020秋•连云港期中）如图，过抛物线y2＝4x的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x轴不垂直，且点A位于x轴上方．AB的垂直平分线与x轴交于D点．
（1）若，求AB所在的直线方程；
（2）求证：为定值．

【分析】（1）设直线l：x＝ty+1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得t，进而得到所求直线方程；
（2）设AB的中点为N（xN，yN），由中点坐标公式可得N的坐标，求得AB的中垂线方程，可得|DF|，|AB|，计算可得所求定值．
【解答】解：（1）直线l的斜率不为0，可得F（1，0），
设直线l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由A在x轴上方，
所以y1＞0，y2＜0，
由可得y2﹣4ty﹣4＝0，
所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，
因为，可得（1﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣1，y2），所以﹣y1＝2y2，
由可得y1＝8t，y2＝﹣4t，代入y1y2＝﹣4，因为y1＞0，所以t＞0，解得t＝，
所以AB所在直线方程为2x﹣y﹣2＝0；
（2）证明：设AB的中点为N（xN，yN），所以yN＝＝2t，xN＝2t2+1，即N（2t2+1，2t），
所以AB的中垂线l'：y﹣2t＝﹣t（x﹣2t2﹣1），
所以D（2t2+3，0），则|DF|＝|2t2+3﹣1|＝2t2+2，
又|AB|＝＝
＝•＝•＝4t2+4，
所以＝＝2为定值．