2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习12 导数及其运算（解析版）

练习12 导数及其运算

1．（2020春•苏州期中）如果一质点的运动方程为S＝2t3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t＝3秒时的瞬时速度为（　　）

A．6米/秒 B．18米/秒 C．54米/秒 D．81米/秒

【分析】求出导数，再将t＝3代入，由此可求得瞬时速度．

【解答】解：（法一）∵S＝2t3，

∴S′＝6t2，

∴当t＝3时，S′＝6×9＝54，

故选：C．

（法二）∵S＝2t3，

∴＝＝，

故选：C．

2．（2020春•苏州期末）下列导数运算正确的是（　　）

A．C'＝1（C为常数） 

B． 

C．（ex）′＝ex（e为自然对数的底数） 

D．（sinx）'＝﹣cosx

【分析】根据导数的基本公式判断即可．

【解答】解：C'＝0，（C为常数），（）′＝﹣，（ex）'＝ex，（sinx）'＝cosx，

故选：C．

3．（2020春•蓝田县期末）下列求导运算正确的是（　　）

A． B． 

C．（3x）'＝3xlog3e D．（sin2x）'＝cos2x

【分析】由导数的运算法则分别求导，再逐一判断．

【解答】解：对于A，（x+）′＝1﹣，错误；

对于B，（log2x）′＝，正确；

对于C，（3x）′＝3xln3，错误；

对于D，（sin2x）′＝2cos2x，错误；

故选：B．

4．（2020春•东海县期中）如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x1）与f′（x2）的大小关系是（　　）

A．f′（x1）＞f′（x2） B．f′（x1）＜f′（x2） 

C．f′（x1）＝f′（x2） D．不能确定

【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（x1）为点A处切线的斜率，f′（x2）为点B处切线的斜率，结合函数的图象分析切线的斜率，比较即可得答案．

【解答】解：根据题意，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2），f′（x）为f（x）的导函数，

则f′（x1）为点A处切线的斜率，设其斜率为k1，

f′（x2）为点B处切线的斜率，设其斜率为k2，

由函数的图象可得k1＞k2，即有f′（x1）＞f′（x2）；故选：A．

5．（2020秋•全国月考）若曲线y＝ex+2x在其上一点（x0，y0）处的切线的斜率为4，则x0＝（　　）

A．2 B．ln4 C．ln2 D．﹣ln2

【分析】求出导函数y′＝ex+2，然后根据题意即可得出，从而解出x0即可．

【解答】解：∵y′＝ex+2，

∴，∴，x0＝ln2．

故选：C．

6．（多选）（2020春•常熟市期中）以下函数求导正确的是（　　）

A．若，则 

B．若f（x）＝e2x，则f'（x）＝e2x 

C．若，则 

D．若，则

【分析】利用基本初等函数的求导公式与简单复合函数的求导法则逐一求导得答案．

【解答】解：若，则f′（x）＝，故A正确；

若f（x）＝e2x，则f'（x）＝e2x•（2x）′＝2e2x，故B错误；

若，则f′（x）＝•＝，故C正确；

若，则f′（x）＝，故D错误．

故选：AC．

7．（多选）（2020秋•泰州期中）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（　　）

A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/h 

B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h 

C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 

D．18时潮水起落的速度为m/h

【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率＝＝﹣，A错误，

对于B，S（t）＝3sin（t+），其最小正周期为＝24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确，

对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（×6+）＝﹣3，不是S（t）的最小值，C错误，

对于D，S（t）＝3sin（t+），其导数S′（t）＝3（t+）′cos（t+）＝cos（t+），则有S′（18）＝，D正确，

故选：BD．

8．（2020春•广陵区校级期中）已知函数f（x）＝x2，则＝　 　．

【分析】先求出f′（x），＝f′（1），能求出结果．

【解答】解：∵f′（x）＝2x，

∴＝f′（1），

∴f′（1）＝2，

故答案为：2

9．（2019春•南通期中）函数f（x）＝2x+1在区间[0，5]上的平均变化率为　  　．

【分析】根据题意，结合函数的解析式，由变化率公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x+1，

则其在区间[0，5]上的平均变化率＝＝2；

故答案为：2

10．（2020春•常熟市期中）设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x+1，则f（3）的值为　 　．

【分析】可求出导函数f′（x）＝2x+3f′（1），然后即可求出f′（1）＝﹣1，从而可得出f（x）的解析式，进而可求出f（3）的值．

【解答】解：∵f′（x）＝2x+3f′（1），

∴f′（1）＝2+3f′（1），解得f′（1）＝﹣1，

∴f（x）＝x2﹣3x+1，f（3）＝9﹣9+1＝1．

故答案为：1．

11．（2020•2月份模拟）函数f（x）＝excosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为　　   ．

【分析】先求函数f（x）＝excosx的导数，因为函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为函数在x＝0处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角．

【解答】解：∵f′（x）＝excosx﹣exsinx，

∴f′（0）＝e0（cos0﹣sin0）＝1

∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为tanθ＝1

∴函数图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角θ为．

故答案为：．

12．（2020春•徐州月考）求下列函数的导数

（1）

（2）

（3）f（x）＝2x+ln（5x﹣1）

【分析】按照导数的计算公式、运算法则将相应的函数看成基本函数的和、差、积、商即可．

【解答】解：（1）

（2），

（3）

13．（2020春•常熟市期中）火车开出车站一段时间内，速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位：s）之间的关系是v（t）＝0.4t+0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2？（　　）

A． B．2s C． D．

【分析】先对函数求导，然后结合已知可求t．

【解答】解：由题意可知，v′（t）＝0.4+1.2t，

令0.4+1.2t＝2.8可得，t＝2（s）．

故选：B．

14．（2020•江苏模拟）已知函数y＝ex的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈N*，a1＝0，则a1+a3+a5＝　   　．

【分析】先利用导数求出曲线在点处的切线，求出切线与横轴交点的横坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求．

【解答】解：∵y＝ex，

∴y′＝ex，

∴y＝ex在点（ak，eak）处的切线方程是：

y﹣eak＝eak（x﹣ak），

整理，得eakx﹣y﹣akeak+eak＝0，

∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1，

∴ak+1＝ak﹣1，

∴{an}是首项为a1＝0，公差d＝﹣1的等差数列，

∴a1+a3+a5＝0﹣2﹣4＝﹣6．

故答案为：﹣6．

15．（2019春•南通期中）求下列函数的导函数：

（1）y＝（2x+1）5；

（2）y＝．

【分析】（1）根据指数函数和复合函数的求导公式进行求导即可；

（2）根据对数函数和复合函数的求导公式进行求导即可．

【解答】解：（1）y′＝5（2x+1）4•2＝10（2x+1）4；

（2）．