2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习14 导数的应用（2）（解析版）



练习14 导数的应用（2）



1．（2019秋•沭阳县期中）函数f（x）＝﹣2x在区间上的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【分析】求导数，确定函数在区间上单调递减，即可求出函数的最小值．
【解答】解：∵，
∴f′（x）＝﹣﹣2
∴函数在区间上单调递减，
∴x＝﹣时，函数的最小值为﹣2+1＝﹣1．
故选：A．
2．（2020秋•鼓楼区校级月考）若函数f（x）＝x3+x2﹣2在区间（a﹣4，a）上存在最小值，则a的取值范围是（　　）
A．（0，4） B．[0，4） C．[1，4） D．（1，4）
【分析】求函数f（x）的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a﹣4，a）上有最小值，列出不等式，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围．
【解答】解：f（x）＝x3+x2﹣2，
f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，
故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）min＝f（x）极小值＝f（0），
若f（x）在区间（a﹣4，a）上存在最小值，
则f（a﹣4）≥f（0）即（a﹣4）3+（a﹣4）2﹣2≥﹣2，解得：a≥1①，
而a﹣4＜0＜a，解得：0＜a＜4②，
综合①②得：1≤a＜4，
故选：C．
3．（2020春•江阴市期中）函数f（x）＝12x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值是（　　）
A．﹣9 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣11
【分析】由已知得f′（x）＝12﹣3x2，由f′（x）＝0，得x＝﹣2，或x＝2，由此利用导数性质能求出函数f（x）＝12x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值．
【解答】解：∵f（x）＝12x﹣x3，
∴f′（x）＝12﹣3x2，
由f′（x）＝0，得x＝﹣2，或x＝2，
∵f（﹣3）＝﹣9，f（﹣2）＝﹣16，f（2）＝16，f（3）＝9，
∴函数f（x）＝12x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值是：f（﹣2）＝﹣16．
故选：B．
4．（2020春•常熟市期中）若函数f（x）＝x3﹣3bx+2在区间（2，3）内单调递增，则实数b的取值范围是（　　）
A．b≤4 B．b＜4 C．b≥4 D．b＞4
【分析】首先求出函数f（x）的导数，然后根据函数f（x）＝x3﹣3bx+2在区间（2，3）内单调递增，可得到∀x∈（2，3），x2﹣b≥0恒成立，求出x2的范围即可求得b的取值范围．
【解答】解：f（x）＝x3﹣3bx+2，则f（x）′＝3x2﹣3b，
因为函数f（x）在区间（2，3）内单调递增，
所以导函数f′（x）在区间（2，3）内大于等于0恒成立，
即∀x∈（2，3），x2﹣b≥0恒成立，
又x∈（2，3）时，x2∈（4，9），
所以b≤4．
故选：A．
5．（2020春•鼓楼区校级期中）定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）＜1，若f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B． C．[﹣1，+∞） D．
【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x，
g′（x）＝f′（x）﹣1＜0，
故g（x）单调递减．
f（m）﹣m≥f（1﹣2m）+2m﹣1，
即g（m）≥g（1﹣2m），
m≤1﹣2m，解得：．
故选：B．
6．（多选）（2020春•徐州期中）已知不等式（x﹣2）ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的可能值为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】令f（x）＝（x﹣2）ex，由题意可得，a≤f（x）min，结合导数即可求解．
【解答】解：令f（x）＝（x﹣2）ex，则f′（x）＝（x﹣1）ex，
易得当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣e，
故a≤﹣e，
结合选项可知，AB符合．
故选：AB．
7．（多选）（2020春•南通期中）若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（　　）
A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex
【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论．
【解答】解：直线的斜率为k＝，
由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选；
由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选；
由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx＝有解，故C可以选；
由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选．
故选：BCD．
8．（2020•江苏模拟）f（x）＝x3﹣3x2+2x+1在区间[0，1]上的最大值为　 　．
【分析】先求导，得到函数f（x）的单调性，从而得到函数f（x）在[0，1﹣]上单调递增，在[1﹣，1]上单调递减，所以函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1﹣）＝1+．
【解答】解：f'（x）＝3x2﹣6x+2，
令f'（x）＝0得，x＝1，
令f'（x）＞0得，x＜1﹣或x＞1+，∴f（x）在（﹣∞，1﹣）和（1+，+∞）上单调递增，
令f'（x）＜0得，1﹣＜x＜1+，∴f（x）在（1﹣，1+）上单调递减，
∴函数f（x）在[0，1﹣]上单调递增，在[1﹣，1]上单调递减，
∴函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1﹣）＝1+，
故答案为：1+．
9．（2020秋•扬州期中）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程为　 　．
【分析】设f（x）＝xn，代入点（2，），可得n，求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．
【解答】解：设f（x）＝xn，由2n＝，可得n＝﹣2，
则f（x）＝x﹣2，
可得f（x）的导数为f′（x）＝﹣2x﹣3，
则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线斜率为﹣2，
可得曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），
即为2x+y﹣3＝0．
故答案为：2x+y﹣3＝0．
10．（2019春•如皋市月考）已知函数f（x）＝ax3+bx2+1在x＝1处取得极大值4，则2a+b＝　 　．
【分析】f′（x）＝3ax2+2bx，根据f（x）＝ax3+bx2+1在x＝1处取得极大值4，可得f（1）＝a+b+1＝4，3a×12+2b×1＝0，解出a，b，并且经过验证即可得出a，b的值．
【解答】解：f′（x）＝3ax2+2bx，
∵f（x）＝ax3+bx2+1在x＝1处取得极大值4，
∴f（1）＝a+b+1＝4，3a×12+2b×1＝0，
解得a＝﹣6，b＝9，
∴f′（x）＝﹣18x2+18x＝﹣18x（x﹣1），
可知：函数f（x）在x＝1处取得极大值，
∴a＝﹣6，b＝9，
∴2a+b＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．（2020•盐城三模）若存在实数x∈（0，4），使不等式x3﹣2ax+16＜0成立，则实数a的取值范围是　 　．
【分析】不等式x3﹣2ax+16＜0，化为：2a＞x2+，x∈（0，4）．令f（x）＝x2+，x∈（0，4）．存在实数x∈（0，4），使不等式x3﹣2ax+16＜0成立⇔2a＞f（x）min．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
【解答】解：不等式x3﹣2ax+16＜0，化为：2a＞x2+，x∈（0，4）．
令f（x）＝x2+，x∈（0，4）．
存在实数x∈（0，4），使不等式x3﹣2ax+16＜0成立⇔2a＞f（x）min．
f′（x）＝2x﹣＝，
可得：x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（2，4）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴x＝2时，函数f（x）取得极小值即最小值．f（2）＝22+＝12．
∴2a＞12，解得＞6．
∴实数a的取值范围是（6，+∞）．
故答案为：（6，+∞）．
12．（2020春•昆山市期中）已知三次函数f（x）＝x3+ax2﹣6x+b，a，b∈R，f（0）＝1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为﹣6．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最值．
【分析】（1）先求函数的导数，进而根据f'（1）＝﹣6求出a的值，然后根据f（0）＝1，求出b的值即可求出函数的解析式；
（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间[﹣2，4]上的最值．
【解答】解：（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣6，
由导数的几何意义，f'（1）＝﹣6，
∴a＝﹣，
∵f（0）＝1，
∴b＝1，
∴f（x）＝x3﹣x2﹣6x+1．
（2）f'（x）＝3x2﹣3x﹣6＝3（x+1）（x﹣2），
令f'（x）＝0得x1＝﹣1，x2＝2，
当x∈[﹣2，﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（﹣1，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（2，4]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴函数f（x）在x＝﹣1取得极大值为f（﹣1）＝，
在x＝2时取得极小值为f（2）＝﹣9，
∵f（﹣2）＝﹣1＞f（2），f（4）＝17＞，
∴f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为17，最小值为﹣9．



13．（2020秋•连云港期中）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a+2，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．[0，） D．（，0]
【分析】判断f（x）的单调性，求出f（x）的值域，根据y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域得出f（x）的最小值与极小值点的关系，得出a的范围．
【解答】解：f′（x）＝lnx，故而当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（1）＝2a+1．
即f（x）的值域为[2a+1，+∞），
∵函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，
∴2a+1≤1，解得：a≤0．
故选：A．
14．（2019春•盐城期末）已知函数f（x）＝ax3+9x（x∈[1，2]）的最大值为4，则实数a的值为 　．
【分析】讨论a≥0时，a＜0，求得f（x）的导数，以及单调区间，讨论区间[1，2]与单调区间的关系，可得最值，解方程即可得到所求值．
【解答】解：当a≥0时，f （x）在[1，2]上是增函数，
所以[f （x）]max＝f （2）＝8a+18＝4，
解得a＝﹣＜0，不合题意舍去；
当a＜0时，f'（x）＝3ax2+9＝0，
解之得x＝±，
所以f （x）的单调区间为：
在区间（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递减，
在区间（﹣，）单调递增，
①当≥2，即﹣≤a＜0时，
得[1，2]⊆（﹣，]，
∴f （x）在区间[1，2]上单调增，
可得[f （x）]max＝f（2）＝8a+18＝4，
a＝﹣，不满足题设要求；
②当1＜＜2，即﹣3＜a＜﹣时，
可得[f （x）]max＝f（）＝0舍去；
③当≤1，即a≤﹣3时，
则[1，2]⊆（，+∞），
∴f （x）在区间[1，2]上单调减，
可得[f （x）]max＝f （1）＝a+9＝4，a＝﹣5，符合题意．
综上所述，a的值为﹣5．
故答案为：﹣5．
15．（2020春•宿迁期末）已知函数f（x）＝2x3﹣3ax2﹣2，其中a∈R．
（1）若a＝1，求f（x）在（0，2]上的最大值和最小值；
（2）若x＝2是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝2x3﹣3x2﹣2，求出f'（x），并令f'（x）＝0，则x＝0或1，然后列表写出f'（x）和f（x）随x在（0，2]上的变化情况，并计算f（1），f（2）和f（0）的值，取最大者为最大值，最小者为最小值；
（2）先对f（x）求导，并令f'（x）＝0，则x＝0或a，根据题意可猜想a＝2，然后把a＝2代入，验证x＝2是否为函数的极值点即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2x3﹣3x2﹣2，∴f'（x）＝6（x2﹣x），
令f'（x）＝0，则x＝0或1，
f'（x）和f（x）随x在（0，2]上的变化情况如下表：
x
（0，1）
1
（1，2]
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↓
极小值
↑
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
又f（1）＝﹣3，f（2）＝2，f（x）＜f（0）＝﹣2＜2，
∴f（x）在（0，2]上的最大值为2，最小值为﹣3．
（2）∵f（x）＝2x3﹣3ax2﹣2，∴f'（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a），
令f'（x）＝0，则x＝0或a，
∵x＝2是函数f（x）的一个极值点，∴a＝2，
当a＝2时，若x∈（0，2），则f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（2，+∞），则f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴x＝2是函数f（x）的极小值点．
综上，a＝2．