2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习10 空间向量及其运算（解析版）

练习10  空间向量及其运算

1．（2020•江苏模拟）若向量＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件•＝0，则x的值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】直接代入数量积求解即可．

【解答】解：因为＝（2，﹣3，1）和＝（1，x，4）满足条件＝0，

即2﹣3x+4＝0⇒x＝2；

故选：D．

2．（2020秋•南京期中）已知向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，则m+n＝（　　）

A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2

【分析】由∥，利用向量平行的性质列出方程，从而求出m＝﹣6，n＝2，由此能求出m+n．

【解答】解：∵向量＝（﹣2，3，﹣1），＝（4，m，n），且∥，其中m，n∈R，

∴，

解得m＝﹣6，n＝2，

∴m+n＝﹣6+2＝﹣4．

故选：B．

3．（2019秋•连云港期末）已知向量＝（λ，6，2），＝（﹣1，3，1），满足∥，则实数λ的值是（　　）

A．2 B．6 C．﹣2 D．﹣6

【分析】利用向量平行的性质直接求解．

【解答】解：∵向量＝（λ，6，2），＝（﹣1，3，1），满足∥，

∴，解得λ＝﹣2，

∴实数λ的值是﹣2．

故选：C．

4．（2019秋•溧阳市期末）已知在四面体ABCD中，点M是棱BC上一点，且BM＝3MC，点N是棱AD的中点，若＝x+y+z其中x，y，z为实数，则x+y+z的值是（　　）

A． B．﹣ C．﹣2 D．2

【分析】根据空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，数形结合，先用向量 ，，表示出向量 ，再对比已知条件＝x+y+z，分别求出x，y，z的值，然后就可以得到x+y+z的值．

【解答】解：因为BM＝3MC，点N是棱AD的中点；

∴＝﹣，＝；∵＝﹣；

∴＝+＝﹣（）﹣+＝﹣﹣+；①

∵＝x+y+z②；

∴x＝﹣，y＝﹣，z＝；

∴x+y+z＝﹣．

故选：B．

5．（2020秋•菏泽期中）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且，，，则x+y+z＝（　　）

A． B． C．1 D．

【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量的线性表示，即可求出x、y和z的值．

【解答】解：分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设B＝（a，0，0），D＝（0，b，0），P＝（0，0，C），

所以M＝（a，b，c），N＝（0，b，c），

所以＝（a，b，﹣c）＝+﹣，

所以x＝，y＝，z＝﹣，

所以x+y+z＝．

故选：B．

6．（多选）（2020秋•天宁区校级期中）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（　　）

A．＝+ B．＝++ 

C．＝++ D．+++＝

【分析】利用空间向量基本定理，进行验证，对于A，可得，，为共面向量，从而可得M、A、B、C四点共面．

【解答】解：对于A：∵﹣＝（﹣）+（﹣），

∴﹣＝﹣+﹣，

∴+﹣＝+﹣＝，

故＝+，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；

或由＝+得：，，为共面向量，故P，A，B，C共面；

对于B：++＝1，故P，A，B，C共面；

对于C，D，显然不满足，故C，D错误；

故选：AB．

7．（多选）（2019秋•苏州期末）已知向量＝（1，2，3），＝（3，0，﹣1），＝（﹣1，5，﹣3），下列等式中正确的是（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】A．左边为向量，右边为实数，显然不相等．

B．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．

C．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．

D．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．

【解答】解：A．左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；

B．左边＝（4，2，2）•（﹣1，5，﹣3）＝0，右边＝（1，2，3）•（2，5，﹣4）＝2+10﹣12＝0，∴左边＝右边，因此正确．

C．＝（3，7，﹣1），左边＝32+72+（﹣1）2＝59，右边＝12+22+32+32+0+（﹣1）2+（﹣1）2+52+（﹣3）2＝59，∴左边＝右边，因此正确．

D．由C可得：左边＝；∵﹣﹣＝（﹣1，﹣3，7），∴|﹣﹣|＝，∴左边＝右边，因此正确．

综上可得：BCD正确．

故选：BCD．

8．（2019秋•苏州期末）已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若∥，则实数t的值为　  　．

【分析】利用向量垂直的性质直接求解．

【解答】解：∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），∥，

∴，

解得t＝﹣8，

∴实数t的值为﹣8．

故答案为：﹣8．

9．（2019春•苏州期中）已知向量＝（3，2，0），＝（2，1，2），若（k+）⊥（﹣），则实数k的值为　　．

【分析】由（k+）⊥（﹣），可得（k+）•（﹣）＝0，即可得出．

【解答】解：∵k+＝（3k+2，2k+1，2），﹣＝（1，1，﹣2），

∵（k+）⊥（﹣），

∴（k+）•（﹣）＝3k+2+2k+1﹣4＝0，

解得：k＝．

故答案为：．

10．（2020春•无锡月考）若向量＝（7，λ，8），＝（1，﹣1，2），＝（2，3，1），且，，共面，则λ＝　  　．

【分析】由共面条件得出方程组，由此求出m的值．

【解答】解：向量＝（7，λ，8），＝（1，﹣1，2），＝（2，3，1），且，，共面，

所以存在两个实数x、y使得＝x+y；

即，解得；

所以λ＝3．

故答案为：3．

11．（2019秋•建邺区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，且＝x+y+z，则x+y+z的值为　　    ．

【分析】画出正方体，用向量、和表示出向量，求出x、y，z的值即可得出结论．

【解答】解：如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，

则＝++＝++＝x+y+z，

所以x+y+z＝+1+1＝．

故答案为：．

12．（2019秋•阳泉期末）已知向量＝（2，4，﹣2），＝（﹣1，0，2），＝（x，2，﹣1）．

（1）若∥，求||；

（2）若⊥，求（﹣）•（2+）的值．

【分析】（1）由∥，可得存在实数k使得＝k，可得：，解得x；

（2）⊥，可得•＝﹣x+0﹣2＝0，解得x．可得，（﹣）•（2+）．

【解答】解：（1）∵∥，∴存在实数k使得＝k，可得：，解得x＝1．

∴||＝＝；

（2）⊥，∴•＝﹣x+0﹣2＝0，解得x＝﹣2．

∴＝（﹣2，2，﹣1）．

∴（﹣）•（2+）＝（4，2，﹣1）•（﹣4，2，3）＝﹣16+4﹣3＝﹣15．

13．（2020秋•栖霞区校级月考）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1．若＝x+y+z，则x+y+z等于（　　）

A．﹣1 B．0 C． D．1

【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得解．

【解答】解：＝+++

＝﹣﹣++

＝﹣﹣++

＝﹣++，

∵＝x+y+z，

∴x＝﹣1，y＝1，z＝，

∴x+y+z＝

故选：C．

14．（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，则点P可以是正方体表面上的点　                   　．

【分析】因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，只需要找到平面AMN与正方体表面的交线即可．

【解答】解：因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，

又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，

连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，

故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点．

故答案为：线段AB1，B1C，AC上的点．

15．（2020秋•历下区校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．

（1）若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；

（2）求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．

【分析】（1）根据＝λ，分别求出，在坐标，根据，得到关于λ的方程，解出即可求出D的坐标；

（2）分别求出•，求出其夹角，求出四边形的面积即可．

【解答】解：（1），，

，

，

，

解得：，故．

（2），

，，

，，

所以以BA，BC为邻边得平行四边形的面积为．