2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学练习7 椭圆（解析版）

练习7   椭圆

1．（2020秋•启东市期中）椭圆的长轴长为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

【分析】直接利用椭圆方程，求解a，推出结果．

【解答】解：椭圆，可得a＝4，

所以椭圆的长轴长为8．

故选：C．

2．（2020秋•沭阳县期中）已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】利用已知条件推出a＝3，从，求解b，即可判断选项的正误．

【解答】解：椭圆，若长轴长为6，离心率为，

可得a＝3，c＝1，所以b＝2，由选项可知D满足题意，

故选：D．

3．（2020秋•栖霞区校级月考）椭圆+＝1的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（　　）

A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）

【分析】设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．

【解答】解：如图，

设P（x，y），则F1（﹣，0），F2（ ，0），

且∠F1PF2是钝角

⇔＜⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20

⇔x2+5+y2＜10

⇔x2+4（1﹣）＜5

⇔x2＜．所以﹣＜x＜．

故选：C．

4．（2020秋•扬州期中）已知A、B为椭圆的左、右顶点，C（0，b），直线l：x＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分∠APD，则此椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），求得P（2a，3b），角的平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），

直线AC的方程为bx﹣ay+ab＝0，

由x＝2a，可得y＝3b，即P（2a，3b），

由BP平分角∠DPA，可得，即＝，

由b2＝a2﹣c2，化简可得2a2＝3c2，

则e＝＝．

故选：D．

5．（2020秋•秦淮区校级期中）已知点P是椭圆上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且|PF1|﹣|PF2|＝a，则椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用椭圆的定义，结合已知条件推出|PO|＝|OF1|＝|OF2|，利用勾股定理，转化求解离心率即可．

【解答】解：因为P是椭圆上一点，F1，F2分别为左、右焦点，则|PF1|+|PF2|＝2a，而|PF1|﹣|PF2|＝a，

则，．

又因为点P到原点O的距离为焦距的一半，即|PO|＝|OF1|＝|OF2|，故三角形PF1F2为直角三角形，

则，即，解得，所以．

故选：B．

6．（多选）（2020秋•沭阳县期中）若方程表示椭圆C，则下面结论正确的是（　　）

A．k∈（1，9） 

B．椭圆C的焦距为 

C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（1，5） 

D．若椭圆C的焦点在y轴上，则k∈（5，9）

【分析】利用方程表示椭圆，求出k的范围，焦距，判断焦点所在轴，判断选项的正误．

【解答】解：方程表示椭圆C，

可得焦点坐标在x轴时，9﹣k＞k﹣1＞0，解得k∈（1，5）；

焦点坐标在y轴时，可得k﹣1＞9﹣k＞0，解得k∈（5，9），所以C，D正确；A不正确；

焦点坐标在x轴时，焦距为：2．焦点坐标在y轴时，2，所以B不正确；

故选：CD．

7．（多选）（2020秋•崇川区校级期中）设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（　　）

A．AF+BF为定值 

B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] 

C．当m＝时，△ABF 为直角三角形 

D．当m＝1时，△ABF 的面积为

【分析】利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．

【解答】解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'＝BF，可得AF+BF＝AF+AF'为定值6，故A正确；

△ABF的周长为AB+AF+BF，

∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；

将y＝与椭圆方程联立，可解得A（），B（），又知F（，0），

如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；

将y＝1与椭圆方程联立，解得A（，1），B（，1），

∴，故D正确．

故选：AD．

8．（2020秋•启东市期中）若方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是　   　．

【分析】利用椭圆方程，结合焦点在x轴，列出不等式求解即可．

【解答】解：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，

可得m+9＞5﹣m＞0，

解得m∈（﹣2，5）．

故答案为：（﹣2，5）．

9．（2020秋•如皋市期中）已知F（2，0）为椭圆的右焦点．直线与椭圆C相交于A，B两点，A，B的中点为P，且直线OP的斜率k＝1，则椭圆C的方程为　　    ．

【分析】分别设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用作差法及已知条件可得a2＝3b2，再由椭圆半焦距及隐含条件得到关于a，b的方程，联立求得a2，b2的值，则答案可求．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

则，，

两式作差可得，，

即，

∵直线，直线OP的斜率k＝1，

∴，即a2＝3b2，①

又F（2，0），∴c＝2，则a2＝b2+4，②

联立①②解得a2＝6，b2＝2．

∴椭圆C的方程为．

故答案为：．

10．（2020秋•沭阳县期中）已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且△PF1F2的面积等于6，则实数b的值为　　  ，实数a的取值范围为　      　．

【分析】根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解b；再由向量等式得，即x2+y2＝c2，结合点P在椭圆上可得x2＝（c2﹣b2），即c2≥b2，可得a2＝b2+c2≥2b2，然后求解a的范围．

【解答】解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|＝2a，

又，△PF1F2的面积等于6，

∴|PF1|•|PF2|＝6，即|PF1|•|PF2|＝12，

由（|PF1|+|PF2|）2＝4a2，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，可得4c2﹣4a2＝﹣24，

∴b＝．

由，得x2+y2＝c2，①

而椭圆C：，②

由①②得x2＝（c2﹣b2），∴c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝12，

故（舍去），或a≥2，

∴a的取值范围为[2，+∞）．

故答案为：；[2，+∞）．

11．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，过椭圆C：+＝1的左、右焦点，F1，F2分别作斜率为2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝5：4，则椭圆C离心率为　　    ．

【分析】由椭圆的对称性作出B关于原点对称点B1，可得，结合题意得到，联立直线AB1的方程与椭圆方程，结合根与系数的关系求解．

【解答】解：作点B关于原点的对称点B1，可得，

则有＝，∴①，

将直线AB1方程x＝代入椭圆+＝1，

整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy﹣8b4＝0，

得②，③，

联立①②③，得a2＝9c2，

可得离心率e＝，

故答案为：．

12．（2020秋•启东市期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．

（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；

（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．

【分析】（1）根据题意，由椭圆的对称性可得|PF1|＝|PF2|＝a，进而可得△F1PF2为等腰直角三角形，据此分析求出b、a的值，代入椭圆的标准方程即可得答案，

（2）根据题意，分析可得∠OPF1＞45°，据此可得sin∠OPF1＝＝＞，即可得答案．

【解答】解：（1）根据题意，椭圆C：，如图，短轴的一个端点为P，

则|PF1|＝|PF2|＝a，

又由∠F1PF2为直角，则△F1PF2为等腰直角三角形，

若焦距长为2，即|OF1|＝1，则b＝|OP|＝1，a2＝b2+c2＝2，

则椭圆的标准方程为+y2＝1，

（2）若∠F1PF2为钝角，即∠OPF1＞45°，

则有sin∠OPF1＝＝＞，

则有e＞，

故椭圆C的离心率的取值范围为（，1）．

13．（2020秋•思明区校级月考）如图，椭圆C：＝1的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于M，N两点，且始终满足OM⊥ON，作OH⊥MN交MN于点H，则的取值范围是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】求得椭圆的a，b，c，求得A，B的坐标，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，以及圆的方程和性质，和两点的距离公式，可得所求范围．

【解答】解：椭圆C：＝1的a＝2，b＝1，c＝，右顶点为A（2，0），上顶点为B（0，1），

设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x＝my+t，联立椭圆方程x2+4y2﹣4＝0，

可得（4+m2）y2+2mty+t2﹣4＝0，

y1+y2＝﹣，y1y2＝，

由OM⊥ON，可得•＝0，

即x1x2+y1y2＝（my1+t）（my2+t）+y1y2＝（1+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t2＝（1+m2）•+mt（﹣）+t2＝0，

化为5t2＝4（1+m2），

而O到直线MN的距离为|OH|＝＝＝，

即有H的轨迹方程为圆x2+y2＝，

设H（m，n），

则＝（2﹣m，﹣n）•（﹣m，1﹣n）＝m2﹣2m+n2﹣n＝（m﹣1）2+（n﹣）2﹣，

表示点（m，n）与点（1，）的距离的平方，减去的差．

由点（0，0）与（（1，）的距离为，可得H与点（1，）的距离的最小值为﹣＝，

最大值为+＝，

则的最小值为（）2﹣＝﹣，最大值为（）2﹣＝，

可得的取值范围是[﹣，]，

故选：C．

14．（2020秋•广陵区校级月考）已知直线l与椭圆相切于第一象限内的点P（x0，y0），且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠F1PF2＝60°（F1、F2是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是　　    ．

【分析】用x0，y0表示出直线l方程，计算A，B坐标，利用基本不等式得出△AOB（O为坐标原点）的面积最小对应的条件，根据△PF1F2的面积列方程得出a，b，c间的关系，从而可求出椭圆的离心率．

【解答】解：直线l的切线方程为：，∴，

∴，

∵，∴，

∴S△AOB≥ab，当且仅当时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小，

设|PF1|＝x，|PF2|＝y，由余弦定理可得4c2＝x2+y2﹣xy＝4a2﹣3xy，

∴，∴，

∴，∴，∴，

∴．

故答案为：．

15．（2020秋•连云港期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，AB＝2，离心率．F是右焦点，过F点任作直线l交椭圆于M，N两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究直线AM与直线BN的交点P是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

【分析】（1）由已知求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）设直线MN的方程为x＝my+1，再设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，可得M与N的纵坐标的和与积，再写出直线AM与BN的方程，结合根与系数的关系，联立两直线方程求得的值，进一步求得x＝2，即可证明直线AM与直线BN的交点P落在定直线x＝2上．

【解答】解：（1）∵AB＝，∴2a＝，即a＝，

设椭圆的焦距为2c，又e＝，∴c＝1，

则b2＝a2﹣c2＝1．

∴所求椭圆的方程为；

（2）设直线MN的方程为x＝my+1，再设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0．

∴，，

直线AM的方程为，直线BN的方程为，

联立两直线方程，可得＝＝＝

＝＝

＝＝

＝＝

＝，

∴，解得x＝2．

因此，直线AM与直线BN的交点P落在定直线x＝2上．