专题4.2 随机变量与离散型随机变量的分布列（B卷提升篇）（解析版）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.2随机变量与离散型随机变量的分布列（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·三亚华侨学校高二月考）下图为离散型随机变量X的分布列，则常数a的值为（    ）

A． B． C．或 D．1或

【答案】A

【解析】

由离散型随机变量的分布列的性质，得：

，解得，

故选：A

2．（2020·山东省桓台第一中学高二期中）设随机变量等可能取值1，2，3，…，，如果，那么（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，解得.

故选：A

3．（2020·山东奎文�潍坊中学高二期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】

由离散型随机变量分布列的性质可知，

，解得：.

故选：D

4．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考（理））随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则的值为(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

，故选D．

5．（2020·广东海丰�高二月考）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，

因为，所以

故选：C

6．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））设随机变量的分布列为，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵随机变量的分布列为，

∴，

解得，

∴．

故选：D．

7．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

且，则

即

解得

故答案选A

8．（2020·宁县第二中学高二期中（理））已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

解得.

故.

故选：

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·全国高一课时练习）下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有(    )

A．掷1枚质地均匀的骰子一次,事件 “出现的点数为奇数”,事件 “出现的点数为偶数”

B．袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件 “第1次摸到红球”,事件“第2次模到红球”

C．分别抛掷2枚相同的硬币,事件 “第1枚为正面”,事件 “两枚结果相同”

D．一枚硬币掷两次,事件 “第一次为正面”,事件 “第二次为反面”

【答案】CD

【解析】在A中, ，所以不相互独立;在B中,M,N可能同时发生，不是相互独立事件;在C中,,,,,因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.

故选：CD

10．（2020·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B．，

C．， D．，

【答案】CD

【解析】

由概率的性质可得，解得，

，

，

，

,

故选：CD

11．（2020·江苏昆山�高一期中）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，

根据独立重复试验的概率计算公式，

可得：，

由，故A是错误的；

由，故B是错误的；

由，故C是正确的；

由，故D是正确的.

故选：CD

12．（2019·山东烟台�高二期中）某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（    ）

A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为

B．四人去了同一餐厅就餐的概率为

C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为

D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为

【答案】ACD

【解析】

四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，

选项，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，

所以选项正确；

选项，四人去了同一餐厅就餐的概率为，

所以选项不正确；

选项，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为

，所以选项正确；

选项，每个同学选择去第一餐厅的概率为，

所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，

，所以选项正确.

故选:ACD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2020·河南项城市第三高级中学高二月考（理））设随机变量ξ的概率分布列为，，则　　　　.

【答案】

【解析】∵所有事件发生的概率之和为1，即P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1，∴，∴c=，∴ P（ξ=k）= ，∴P（ξ=2）=．故答案为．

14．（2020·宁县第二中学高二期中（理））若随机变量η的分布列如下：

则当时，实数x的取值范围是

【答案】（1,2]

【解析】

试题分析：由离散型随机变量的概率分布列知：

P（η=-2）=0.1，P（η＜0）=0.3，

P（η＜1）=0.5，P（η＜2）=0.8

则当P（η＜x）=0.8时，实数x的取值范围是1＜x≤2

15．（2020·全国高二单元测试）已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为__.

【答案】

【解析】

，，所以，且概率和，解得.

16．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）设离散型随机变量的概率分布如下，

若随机变量满足，，则____________．

【答案】       

【解析】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得，

所以，

又因为，

所以，.

故答案为：;.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·全国高三其他（理））在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小华每次投掷的结果相互独立．

（1）求小华恰好套中一次的概率；

（2）求小华总分X的分布列及数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【解析】

（1）设“小华恰好套中一次”为事件A，

则.

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，

；；

；；

；；

∴的分布列为：

.

18．（2020·江苏清江浦�淮阴中学高三三模）共享单车的出现大大方便了人们的出行．已知某城市有A，B，C，D，E五种共享单车，某人在某周的周一至周五这五天中，每天选择其中任意一种共享单车出行的可能性相同．

（1）求此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车的概率；

（2）记此人在这连续五天的出行中选择的共享单车的种数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．

【解析】

 (1)记“此人在这连续五天的出行中共选择了三种共享单车”为事件M,

则事件M包含“某种共享单车用三天,另有两种共享单车各用一天”、“某种共享单车用一天,另有两种共享单车各用两天”两种情况.

所以P(M)=.

(2)易知随机变量X的所有可能的取值为1,2,3,4,5,

由(1)知,P(X=3)=,

又P(X=1)=,

P(X=2)=，

P(X=4)=,

P(X=5)=,

则随机变量X的分布列为

所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×+5×.

19．（2020·四川南充�高二期末（理））

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.

（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）的分布列为

的数学期望

【解析】

（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.

由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.

（II）由题设知（I）知，，，，

可能取值为

故，

，

的分布列为

20．（2020·重庆高二期末）某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.己知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立.

（1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；

（2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，.

【解析】

（1）因为由赢球者发下一个球，故不会出现一方连续两次得2分的情况，所以三次发球能结束比赛必是两人分差达3分：

①若第一个球甲赢，则甲得1分，故后两个球只能都是甲赢，这种情况的概率为；

②若第一个球乙赢，则乙得2分，且由乙发第二个球，此球，若乙赢则比赛结束，不符合题意；若甲赢，两人2∶2，第三个球结束分差不可能达3分，也不符合题意；

故所求概率为0.216. 

（2）分析接下来的比赛过程中甲､乙的得分情况：

标记甲赢为事件A，乙赢为事件B

；  

故X的所有可能取值为2，3，4，

，

，，

X的分布列为

.

21．（2020·吴起高级中学高二期末（理））现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.

（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.

【答案】（I） （II）见解析

【解析】

设事件 “张同学至少取到1道乙类题”

则张同学至少取到的全为甲类题

（A）

的所有可能取值为0，1，2，3

的分布列为

22．（2020·辽宁高二期末）甲、乙两名射箭选手最近100次射箭所得环数如下表所示.

甲选手100次射箭所得环数

乙选手100次射箭所得环数

以甲、乙两名射箭选手这100次射箭所得环数的频率作为概率，假设这两人的射箭结果相互独立.

（1）若甲、乙各射箭一次，所得环数分别为X，Y，分别求X，Y的分布列并比较的大小；

（2）甲、乙相约进行一次射箭比赛，各射3箭，累计所得环数多者获胜.若乙前两次射箭均得10环，且甲第一次射箭所得环数为9，求甲最终获胜的概率.

【答案】（1）分布列见解析；；（2）.

【解析】

（1）X的分布列为

则.

Y的分布列为

则.

因为，所以.

（2）若乙最后一次射箭所得环数为7，则当甲后两次射箭所得环数为9，10或10，9或10，10时，甲最终可获胜；

若乙最后一次射箭所得环数为8，则当甲后两次射箭所得环数为10，10时，甲最终可获胜.

故甲最终获胜的概率.