期末测试卷01（理）（测试范围：必修2、选修2-1）（原卷版）
展开期末测试卷01（理）
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
测试范围：必修2、选修2-1（人教A版）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．如图，在正方体中，、 分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是( )。
A、直线
B、直线
C、直线
D、直线
2．设、是两个不同的平面，则的充要条件是( )。
A、平面内任意一条直线与平面垂直
B、平面、都垂直于同一条直线
C、平面、都垂直于同一平面
D、平面内存在一条直线与平面垂直
3．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A、
B、
C、
D、
4．已知点是双曲线：(，)的左支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，与两条渐近线相交于、两点(如图所示)，点恰好平分线段，则双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
5．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是( )。
A、
B、
C、
D、
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
7．已知双曲线(，)，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中错误的是( )。
A、
B、
C、向量与的夹角是
D、与所成角的余弦值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是( )。
A、的中点坐标为
B、点关于轴对称的点的坐标为
C、点关于原点对称的点的坐标为
D、点关于面对称的点的坐标为
10．已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )。
A、
B、
C、
D、
11．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。
A、双曲线是黄金双曲线
B、若，则该双曲线是黄金双曲线
C、若，则该双曲线是黄金双曲线
D、若，则该双曲线是黄金双曲线
12．如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则( )。
A、直线与直线垂直
B、直线与平面平行
C、平面截正方体所得的截面面积为
D、点和点到平面的距离相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知直线被圆：所截得的弦长为，则 。
14．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则 。
15．已知直线：、：，当时，直线、与两坐标轴围成一个四边形，则四边形面积的最小值为 ，此时实数 。（本小题第一个空3分，第二个空2分）
16．过点作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线交于、两点，若直线与圆：交于不同两点、，则的最大值是 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥。
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥的高。
18．（本小题满分12分）
已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。
(1)在中，求边中线所在直线方程；
(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；
(3)求的面积。
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，，，，，，，为的中点。
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值。
20．（本小题满分12分）
设抛物线：的焦点为，过且斜率为()的直线与交于、两点，且。
(1)求方程；
(2)求过、且与准线相切的圆的方程。
21．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥中，和所在平面互相垂直，且，， ，，、分别为、的中点。
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值。
22．（本小题满分12分）
已知为坐标原点，点为圆：内一动点，定点，以线段为直径的圆内切于圆。
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设点，直线经过点与动点的轨迹交于、两点，求与的面积之差的最大值。
