2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义08 有理数的乘除
展开专题08 有理数的乘除
【专题说明】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【知识点总结】
一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如－2与－3的乘积，应列为(－2)×(－3)，不应该写成－2×－3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3. 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
二、有理数的除法
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如－2的倒数是，－2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【精典例题】
一、有理数的乘法运算
1、计算：
(1)(－5)×(－4) (2) (3)
【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘，直接运用乘法法则即可．
【答案与解析】
解：(1)(－5)×(－4) (两负数相乘)
＝+(5×4) (同号得正，并把绝对值相乘)
＝20
(2) （异号两数相乘）
（异号得负，并把绝对值相乘）
（化带分数为假分数便可约分）
(3) (任何数同0相乘，都得0)
【总结升华】第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号，如(－4)×(－0．25)可以写成－4×(－0.25)，但不能写成－4×－0.25．
2、 (1)；
(2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
3、运用简便方法计算：
(1)
(2)(－0.25)×0.5×(－100)×4
(3)
【思路点拨】 (1)根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．(2)运用乘法结合律，把第1、4个因式结合在一起．(3)逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
【答案与解析】
解：(1)
（分配律）
(2)(－0.25)×0.5×(－100)×4
＝（－4×0.25）×[0.5×(－100)] （交换律）
＝－1×(－50)＝50（结合律）
(3)
（逆用乘法的分配律）
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
4、计算：(1)；
(2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1－2)(2－3)(3－4)…(19－20)；
(3)(－5)×(－8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.[
5、运用简便方法计算：
(1) ；（2）
【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把与4相乘，再运用乘法结合律将与相乘．(2)．计算的值可运用分配律，计算的值则可逆用分配律．
解：(1) 原式；
（2）
【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
6、计算：(1)(－32)÷(－8) （2）
【答案与解析】 (1)(－32)÷(－8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．
(2) ……用法则一进行计算．
【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．
7、计算：
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．
三：有理数的乘除混合运算
1、计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行．
2、计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．
四、有理数的加减乘除混合运算
1、 计算（1）； （2）
【答案与解析】（1）
=6－2+9－5=8
（2）法1：原式=
法2：由（1）知：，所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决．
2、 计算：
【答案与解析】
方法1：
方法2：
所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c进行分配就错了．
五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题
1、气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?
【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温．
【答案与解析】
解：(℃)
因此8000米的高空的气温大约是－21℃．
【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．
六、含绝对值的化简
1、已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?
【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a、b、c三个数都为正数时，；
(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，
；
(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，
；
(4)当a、b、c三个数都为负数时，
综上，的值为：
【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.
