2020-2021学年北师大版初一数学上册难点突破讲义10 整式的概念

专题10 整式的概念

【专题说明】

1．掌握单项式系数及次数的概念；

2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；

3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；

4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．

【知识点总结】

一、单项式

1.单项式的概念：如，，－1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成

3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：

（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算．

二、多项式

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．

要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．

2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．

3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．

（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

三、 整式

单项式与多项式统称为整式．

要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．

即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

【精典例题】

一、整式概念辨析

1、指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

，，，10，，，，，，

【答案与解析】单项式有：，10，，；

    多项式有：，，，；

    整式有：，，，10，，，，．

【总结升华】不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为不是单项式．

2、下列代数式：，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。

【答案】①②③，④⑥

二、单项式

1、指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

    ，，，，，a－3，，，

【答案与解析】，，，，，，是单项式，其中

     的系数是，次数是3；的系数是－1，次数是1；的系数是，次数是4；[来

的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；

的系数仍按科学记数法表示为－3×108，次数是3；

只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．

【总结升华】（1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．

2、单项式3x2y3的系数是　　．

【答案】3．

3、下列结论正确的是(  )．

    A．没有加减运算的代数式叫做单项式．

    B．单项式的系数是3，次数是2．

C．单项式m既没有系数，也没有次数．

D．单项式的系数是－1，次数是4．

【答案】D

三、多项式

1、多项式，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?

【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为：，它们的次数分别为： 3,6,1,0；

其中的次数是6，是最高次项，一次项的系数是－1，常数项是1，它是六次四项式．

【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．

2、已知多项式．

    (1)求多项式各项的系数和次数．

    (2)如果多项式是七次五项式，求m的值．

【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是－6，次数是3；第二项的系数是－7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是－l，次数3；第五项－5系数是－5，次数是0．

(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m－1+2＝7，解得m＝2．

【总结升华】对于单项式的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．

3、多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．

【答案】

四、整式的应用

1、用整式填空：

    (1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．

    (2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________  乙：________．

【答案】(1)；(2)甲商品的利润率为，乙商品的利润率为：．

【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．

【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝．

2、有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了　　块砖（用含a．b的代数式表示）．

【答案】（40a+30b）

3、如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子

A．4 n枚    B．(4n－4)枚    C．(4n+4)枚    D．n2枚

【答案】 A

【解析】第一个“口”字用4枚棋子，第二个“口”字用8枚棋子，第三个“口”字用12枚棋子，由4＝4×1，8＝4×2，12＝4×3依此类推第n个“口”字需用棋子4n．

【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．