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    高中数学2.5.2 椭圆的几何性质精品课后练习题

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    这是一份高中数学2.5.2 椭圆的几何性质精品课后练习题,共8页。

    一、选择题


    1.(2020·江苏省镇江中学开学考试)设椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为,若则该椭圆的方程为( )


    A.B.C.D.


    【答案】A


    【解析】因为,所以,由 可得,


    所以椭圆方程是:.


    2.(2020贵阳一中月考)直线与椭圆交于、两点,(为原点)是面积为的等腰直角三角形,则等于( )


    A.B.C.D.


    【答案】B


    【解析】不妨设点为第一象限的点,则,由于为等腰直角三角形,则点.


    的面积为,所以,,所以,点在椭圆上,则,解得.


    3.(2020·辽宁大连月考)2020年3月9日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是( )


    A.B.C.D.


    【答案】D


    【解析】以运行轨道的中心为原点,长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系,


    令地心为椭圆的右焦点,设标准方程为(),


    则地心的坐标为(,0),其中.由题意,得,,


    解得,,所以.





    4.(2020赣榆智贤中学高二月考)椭圆的右焦点为,定点,若椭圆上存在点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是


    A.B.C.D.


    【答案】C


    【解析】由题意,椭圆上存在点,使得,而,,


    显然,所以即可,得,解得.


    5.(多选题)(2020·河北邯郸高二月考)如图已知,分别是椭圆的左、右焦点,点是该椭圆在第一象限内的点,的角平分线交轴于点,且满足,则椭圆的离心率可能是( )





    A.B.C.D.


    【答案】CD


    【解析】∵,∴,,则.


    ∵是的角平分线,∴,又,


    ∴,,在中,由余弦定理得,∵,∴,


    解得.故选:CD.


    6. (多选题)(2020江苏扬州中学月考)已知椭圆的左、右焦点分别为,且,点在椭圆内部,点在椭圆上,则以下说法正确的是( )


    A.的最小值为


    B.椭圆的短轴长可能为2


    C.椭圆的离心率的取值范围为


    D.若,则椭圆的长轴长为


    【答案】ACD


    【解析】A. 因为,所以,所以,当,三点共线时,取等号,故正确;B.若椭圆的短轴长为2,则,所以椭圆方程为,,则点在椭圆外,故错误;C. 因为点在椭圆内部,所以,又,所以,所以,即,解得,所以,所以,所以椭圆的离心率的取值范围为,故正确;D. 若,则为线段的中点,所以,所以,又,即,解得,所以,所以椭圆的长轴长为,故正确.故选:ACD


    二、填空题


    7. (2020·广西南宁高二月考)已知O为坐标原点,点,分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆C上的一点,且,与y轴交于点B,则________.


    【答案】


    【解析】因为,所以的长度是椭圆通径的一半,即,因为,所以是三角形的中位线,即.


    8. (2020南昌县莲塘第一中学月考)已知、是椭圆的左,右焦点,点为上一点,为坐标原点,为正三角形,则的离心率为__________.


    【答案】


    【解析】如图,因为为正三角形,所以,所以是直角三角形.


    因为,,所以,所以,所以,因为,所以,


    即,所以.





    9.(2020·重庆市广益中学校期末)已如圆柱的底面半径为2,用与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的离心率为_____.


    【答案】


    【解析】如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1.圆柱的底面中心为O,则∠OAB=60°,可得a=O1A4,bCD=2,∴c.∴这个椭圆的离心率:e.





    10.(2020·河南南阳中学高二月考)过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为,则椭圆的方程为__________.


    【答案】


    【解析】设 ,则 ,, ,由此可得: ,因为 , , ,所以 .又由题意知, 的右焦点为 ,故 ,因此 ,所以的方程为:.


    三、解答题


    11. 设为坐标原点,动点在椭圆:上,过点作轴的垂线,垂足为,点满足.


    (1)求点的轨迹方程;


    (2)设,在x轴上是否存在一定点,使总成立?若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.


    【解析】(1)设,,则


    在椭圆上 …①


    由知:,即:,代入①得:


    即点的轨迹方程为:…②


    (2)假设存在点满足条件,设


    由得:


    即:


    此方程与(1)中②表示同一方程,故:,解得:


    存在点满足条件


    12.(2020天津实验中学高二月考)已知椭圆的左焦点为,左顶点为,上顶点为.已知(为原点)


    (1)求椭圆的离心率;


    (2)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为,圆同时与轴和直线相切,圆心在直线上,且,求椭圆的方程.


    【解析】(1)由题意可得,,设,


    因为,所以,


    所以椭圆离心率为;


    (2)由(1)得,,


    所以椭圆方程可设为,直线,


    设圆心,由,消去y整理得即,


    所以或,当时,;当时,;


    又在轴上方,所以,


    因为,所以,


    因为,,


    所以,所以,所以,


    由圆同时与轴和直线相切,可得圆的半径为2,


    所以点到直线的距离,解得(负值舍去),


    所以,,所以椭圆方程为.


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