高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质同步训练题

课时跟踪检测（二十三）  椭圆的几何性质（一）

[A级　基础巩固]

1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则(　　)

A．C1与C2顶点相同　　　  B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同     D．C1与C2焦距相等

解析：选D　由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4，故选D.

2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1　　　　　  B．＋y2＝1

C．＋＝1     D．x2＋＝1

解析：选A　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.

3．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　)

A．     B．

C．2     D．4

解析：选D　将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，

所以长轴长为2，短轴长为2，由题意得2＝2×2，解得m＝4.

4．(多选)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a2＝25     B．b2＝9

C．a2＝21     D．b2＝16

解析：选AB　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.

5．(多选)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为(　　)

A．4     B．

C．6     D．

解析：选AB　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.

6．椭圆＋＝1的面积S________60.(用“＞”“＜”“＝”填空)

解析：椭圆＋＝1位于直线x＝±5和y＝±3所围成的矩形区域内，而该矩形面积为(5＋5)×(3＋3)＝60，所以椭圆的面积S＜60.

答案：＜

7．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号).

解析：x2＋9y2＝36化为标准方程为＋＝1，故离心率e1＝＝；＋＝1的离心率e2＝.因为e1＞e2，故①更扁．

答案：①

8．已知椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离|OP|的取值范围为________．

解析：设点P(x0，y0)，则|OP|＝.

由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8.

∵点P在椭圆上，

∴＋＝1，∴y＝64－x，

∴|OP|＝ .

∵0≤x≤100，∴64≤x＋64≤100，

∴8≤|OP|≤10.

答案：[8，10]

9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)经过点P(－3，0)，Q(0，－2)；

(2)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，0).

解：(1)由题意知，P，Q分别是椭圆的长轴、短轴的端点，且焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).

因为a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)法一：若椭圆的焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0).

由题意得解得

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0).

由题意得解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.

法二：设椭圆方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，

由题意得

或解得或

故椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.

10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．

解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0).

由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

[B级　综合运用]

11．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)

A．5     B．＋

C．7＋     D．6

解析：选D　设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝　①，因为＋n2＝1　②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.

12．已知椭圆＋＝1及以下3个函数：(1)f(x)＝x；(2)f(x)＝sin x；

(3)f(x)＝cos x，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有(　　)

A．1个     B．2个

C．3个     D．0个

解析：选B　∵(1)f(x)＝x为奇函数，作出其图像，

由图①可知f(x)＝x能等分该椭圆面积；

同理，(2)f(x)＝sin x为奇函数，如图②能等分该椭圆面积；

(3)f(x)＝cos x为偶函数，其图像关于y轴对称，

在y轴右侧x∈时，f(x)>0，

x∈时，f(x)<0，故不能等分该椭圆面积．故选B.

13.如图，把椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________．

解析：由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35.

答案：35

14．已知椭圆＋＝1，在该椭圆上是否存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x＝4的距离相等．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由已知得c2＝4－3＝1，所以c＝1，故F(1，0).

假设在椭圆上存在点M，使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x＝4的距离相等，设M(x，y)(－2≤x≤2)，

则 ＝|x－4|，

两边平方得y2＝－6x＋15.

又由＋＝1，得y2＝3，

代入y2＝－6x＋15，得x2－8x＋16＝0，解得x＝4.

因为－2≤x≤2，所以符合条件的点M不存在．

[C级　拓展探究]

15.如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若·的最大值是12，求椭圆的方程．

解：设F(－c，0)，A(a，0).∵e＝＝，∴a＝3c.

设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.

又＝(－c－x0，－y0)，＝(a－x0，－y0)，

∴·＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)

＝－ac＋cx0－ax0＋x＋y

＝－ac＋cx0－ax0＋x＋b2－x

＝x－(a－c)x0＋b2－ac

＝x－(a－c)x0＋a2－c2－ac

＝x－2cx0＋5c2

＝(x0－9c)2－4c2.

∴当x0＝－3c时，·有最大值，最大值为12c2＝12.

∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，

∴所求椭圆方程为＋＝1.