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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质优秀课后练习题

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质优秀课后练习题,共7页。试卷主要包含了 已知F是椭圆C等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题


    1.(2020山东泰安高二期中)过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ( )


    A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23


    【答案】B


    【解析】由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.


    2.(2020·安徽宣城高二期中)已知椭圆C的中心在原点,焦点在y轴上,且短轴的长为2,离心率等于,则该椭圆的标准方程为( )


    A.B.


    C.D.


    【答案】C


    【解析】设椭圆标准方程为:.短轴长为,,解得:.


    离心率,又,,椭圆的标准方程为.


    3. (2020·湖北宜昌高二月考)设椭圆的离心率为,则是的( )


    A.充分不必要条件B.必要不充分条件


    C.充要条件D.既不充分又不必要条件


    【答案】A


    【解析】当,所以,,所以,所以是的充分条件.


    当,若焦点在轴上,则,所以;若焦点在轴上,则,所以,所以不是的必要条件.故选:A.


    4.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为( )


    A.[1,2]B.[2,3] C.[2,4]D.[1,4]


    【答案】D


    【解析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],


    即m,n∈[2-3,2+3],则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+4∈[1,4].


    5.(多选题)(2020·江苏省苏州中学园区校高二开学考试)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和,半焦距分别为和,离心率分别为,则下列结论正确的是( )





    A.B.


    C.D.


    【答案】ABD


    【解析】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心,可得,由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,可得;因为,且,则,所以A正确;因为,所以B正确;因为,,则有,所以C错误;因为,所以D正确;故选:ABD.


    6.(多选题)(2020·江苏广陵扬州中学高二月考)在平面直角坐标系中,椭圆上存在点,使得,其中、分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率可能为( )


    A.B.C.D.


    【答案】BD


    【解析】设椭圆的焦距为,由椭圆的定义可得,解得,,


    由题意可得,解得,又,所以,,


    所以,该椭圆离心率的取值范围是.故符合条件的选项为BD.


    二、填空题


    7.(2020·全国高二课时练)已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为 .





    【答案】12


    【解析】如图,|AB|=2c=4,∵点C在椭圆上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c2a=48=12.


    8.(2020·西北工业大学附属中学高二月考)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标,,有一根旋杆将两个滑标成一体,,为旋杆上的一点且在,两点之间,且,当滑标在滑槽内作往复运动,滑标在滑槽内随之运动时,将笔尖放置于处可画出椭圆,记该椭圆为.如图2所示,设与交于点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.








    【答案】


    【解析】由题意得:,,所以椭圆的长半轴长为3,短半轴长为1,所以椭圆的普通方程为.


    9.(2020·南京市秦淮中学高二期中)已知椭圆的焦点为,短轴端点为,若直线PF与圆相切,则圆的半径为___________


    【答案】1


    【解析】由椭圆的焦点为,短轴端点为,则,


    不妨取,,则直线PF的方程:,


    由直线PF与圆相切,所以.


    10. (2020·全国高二课时练)已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP| 为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为 .


    【答案】3-12


    【解析】如图,|AB|=a2+b2,a-c≤|PF|≤a+c,





    由题意可得,a-c≤a2+b2≤a+c,不等式左边恒成立,则a2+b2≤a+c,


    两边平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤-1-32(舍)或e≥3-12.


    ∴椭圆C的离心率的最小值为3-12.


    三、解答题


    11.(2020·全国高二课时练)(1)计算:


    ①若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1·kPA2为?


    ②若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,则kPA1·kPA2为?


    ③若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1·kPA2为?


    (2)观察①②③,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=?并证明你的结论.


    【解析】(1)①由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1·kPA2=2-00+3×2-00-3=-49.


    ②由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5,43,


    ∴kPA1·kPA2=43-03-5×43-0-3-5=-49.


    ③由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-423,


    ∴kPA1·kPA2=-423-01+3×-4231-3=-49.


    (2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1·kPA2=-b2a2.


    证明如下:设P(x0,y0).由题意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,


    则kPA1·kPA2=y0-0x0+a·y0-0x0-a=y02x02-a2.


    又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,


    代入可得kPA1·kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得证.


    12.(2020·全国高二课时练习)已知椭圆与椭圆有相同的焦点,且椭圆过点


    .


    (1)求椭圆的标准方程;


    (2)设椭圆的焦点为,点在椭圆上,且的面积为1,求点的坐标.


    【解析】(1)的焦点为,设方程为,焦距为,


    则,把代入,


    则有,整理得,


    故或(舎),,故椭圆方程为.


    (2),设,


    则面积为,则,而 ,


    所以,,所以点有4个,它们的坐标分别为.


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