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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系精品课时作业
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系精品课时作业，共9页。
一、选择题
1.（2020·江西师大附中高二月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆心O到直线距离为，所以，选D.
2．直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6]B.[4,8] C.[2,32]D.[22,32]
【答案】A
【解析】设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.
又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤6.
3．（2020全国高二课时练习）点在直线上, ，与圆分别相切于A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为 （ ）
A．24B．16C．8D．4
【答案】C
【解析】因为切线，的长度相等，所以四边形PAOB面积为的面积的2倍．因为， 所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求的最小值．当取最小值时，取最小值．的最小值为点P到直线的距离，因为圆的圆心坐标为，半径为．进而可求切线的长度的最小值，最小值为．可求四边形PAOB面积的最小值．
4.（2020·云南师大附中高二月考）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】B
【解析】由题得圆的方程可以化为，所以圆心为，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以直线经过圆心，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
5．（多选题）（2020·全国高二课时练习）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为
【答案】ABCD
【解析】将直线l的方程整理为，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点，故A正确；
令，则，解得，
故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；
因为，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C正确；
圆心，半径为5，，
当截得的弦长最短时，，
则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为，
即，故D正确.故选：ABCD.
6.（多选题）（2020江苏省响水中学高二月考）已知点，是圆：上的两个动点，点是直线：上的一定点，若的最大值为90°，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】设点坐标为，当、均为圆切线时，
此时四边形为正方形，则，即，
解得，，故，，故选：AC．
二、填空题
7．（2020全国高二课时练习）已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．
【答案】
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，故圆C的方程为x2+（y+2）2=25.
8.直线与圆交于两点，为圆心，若，则_____.
【答案】
【解析】由，所以，所以，
由余弦定理得，，
所以.
9.（2020·浙江平阳·浙鳌高级中学月考）已知圆，过点作直线交圆于，两点，则的最小值为________；若，则的最小值为________.
【答案】；
【解析】圆的圆心为，半径，
根据圆的性质可得：弦长的一半、圆心到弦的距离、半径，三者满足勾股定理；即，所以当圆心到弦的距离最大时，最小；
又过点，，所以当时，取最大，为，
此时最小，为；
取中点为，连接，则，即为直角三角形；
取中点为，连接，则，
即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
连接，因为，所以，
由圆的性质可得，，
所以.
10.（2020·湖南天心·长郡中学开学考试）若过原点的动直线将圆分成的两部分面积之差最大时，直线与圆的交点记为、；将圆分成的两部分面积相等时，直线与圆的交点记为、；则四边形的面积为_________．
【答案】.
【解析】直线将圆分成面积相等的两部分即直线过圆心，可得此时为直径，，若直线将圆分成的两部分面积之差最大，如下图：
，
当过原点的弦垂直于过此点直径时，最大，此时， 在中，，则，
那么．
三、解答题
11．（2020·山东泰安实验中学高二期末）已知点，圆
（1）过点的圆的切线只有一条，求的值及切线方程；
（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求的值.
【解析】 (1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0，
∴a＝时，切线方程为x＋y－4＝0，
a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为 x＋y＝b，由于直线过点A，∴1＋a＝b，a＝b－1.
又圆心到直线的距离d＝，
∴()2＋()2＝4. ∴b＝± .∴a＝±－1.
12.（2020·全国课时练）已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：；
②存在时，设直线的方程为：，
联立方程，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
一、选择题
1.（2020·江西师大附中高二月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆心O到直线距离为，所以，选D.
2．直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6]B.[4,8] C.[2,32]D.[22,32]
【答案】A
【解析】设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.
又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤6.
3．（2020全国高二课时练习）点在直线上, ，与圆分别相切于A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为 （ ）
A．24B．16C．8D．4
【答案】C
【解析】因为切线，的长度相等，所以四边形PAOB面积为的面积的2倍．因为， 所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求的最小值．当取最小值时，取最小值．的最小值为点P到直线的距离，因为圆的圆心坐标为，半径为．进而可求切线的长度的最小值，最小值为．可求四边形PAOB面积的最小值．
4.（2020·云南师大附中高二月考）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．7
【答案】B
【解析】由题得圆的方程可以化为，所以圆心为，半径为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以直线经过圆心，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
5．（多选题）（2020·全国高二课时练习）（多选）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为
【答案】ABCD
【解析】将直线l的方程整理为，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点，故A正确；
令，则，解得，
故圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；
因为，所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C正确；
圆心，半径为5，，
当截得的弦长最短时，，
则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为，
即，故D正确.故选：ABCD.
6.（多选题）（2020江苏省响水中学高二月考）已知点，是圆：上的两个动点，点是直线：上的一定点，若的最大值为90°，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】设点坐标为，当、均为圆切线时，
此时四边形为正方形，则，即，
解得，，故，，故选：AC．
二、填空题
7．（2020全国高二课时练习）已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．
【答案】
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，故圆C的方程为x2+（y+2）2=25.
8.直线与圆交于两点，为圆心，若，则_____.
【答案】
【解析】由，所以，所以，
由余弦定理得，，
所以.
9.（2020·浙江平阳·浙鳌高级中学月考）已知圆，过点作直线交圆于，两点，则的最小值为________；若，则的最小值为________.
【答案】；
【解析】圆的圆心为，半径，
根据圆的性质可得：弦长的一半、圆心到弦的距离、半径，三者满足勾股定理；即，所以当圆心到弦的距离最大时，最小；
又过点，，所以当时，取最大，为，
此时最小，为；
取中点为，连接，则，即为直角三角形；
取中点为，连接，则，
即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
连接，因为，所以，
由圆的性质可得，，
所以.
10.（2020·湖南天心·长郡中学开学考试）若过原点的动直线将圆分成的两部分面积之差最大时，直线与圆的交点记为、；将圆分成的两部分面积相等时，直线与圆的交点记为、；则四边形的面积为_________．
【答案】.
【解析】直线将圆分成面积相等的两部分即直线过圆心，可得此时为直径，，若直线将圆分成的两部分面积之差最大，如下图：
，
当过原点的弦垂直于过此点直径时，最大，此时， 在中，，则，
那么．
三、解答题
11．（2020·山东泰安实验中学高二期末）已知点，圆
（1）过点的圆的切线只有一条，求的值及切线方程；
（2）若过点且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为，求的值.
【解析】 (1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0，
∴a＝时，切线方程为x＋y－4＝0，
a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为 x＋y＝b，由于直线过点A，∴1＋a＝b，a＝b－1.
又圆心到直线的距离d＝，
∴()2＋()2＝4. ∴b＝± .∴a＝±－1.
12.（2020·全国课时练）已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：；
②存在时，设直线的方程为：，
联立方程，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
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