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数学人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质精品当堂检测题
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这是一份数学人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质精品当堂检测题，共9页。试卷主要包含了又e＝＝，等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.（2020·广东湛江高二期末）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】双曲线的渐进线方程为，故双曲线的渐近线方程为.
设双曲线的方程为.当时，双曲线的方程为，则，解得：；当时，双曲线的方程为，则，解得：；故选C
2．（2020·宁夏银川一中高二月考）若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．由题得，圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式．可得．解得，所以．故选B．
3．（2020·重庆八中月考）设双曲线的左顶点为，右焦点为，若圆与直线交于坐标原点及另一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】如图所示，，设直线上点，，
则，即，得，将代入圆，得，即，故.故选：B.
4．（2020·湖南师大附中高二月考）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，的最小值为6.
5．（多选题）（2020·江苏南通月考）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.故选AC
6. （多选题）（2020·湖北恩施高中高二月考）已知双曲线C：与直线交于A，B两点，点为C上任意一点，且直线，的斜率分别为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为D．双曲线的离心率为
【答案】AC
【解析】设点，，∴.又∵，两式相减得，∴.又∵，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；又∵，∴，故选项C正确，故选：AC.
二、填空题
7．（2020·湖南师大附中月考）过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去.
8.（2020·云南师大附中高二月考）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意可得，渐近线方程为，
∴，，故．
9．（2020·湖北沙区·沙市中学期末）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即，
，椭圆的离心率，双曲线的离心率.
10．（2020·河北石家庄一中高二月考）设，分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】取的中点，则∵，
∴，∴，∵是的中位线，∴，.
由双曲线的定义得，∵，∴，.
中，由勾股定理得，∴，∴.
三、解答题
11.（2020·全国高二课时练）已知双曲线 (a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
【解析】 (1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，
又F(c,0)，∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.
(2)∵PF的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴，∴b＝3.又e＝＝，
∴＝.∴a＝4.
故双曲线方程为－＝1.
12.（2020·全国高二课时练）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且，求面积的取值范围．
【解析】（1）∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率．
又∵直线经过椭圆的右顶点，令，则
∴右顶点的坐标为，即，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，．
联立消去y，整理得，
则，
于是．
又，
故，则．
由得，解得．
又由，
得，且．
设原点O到直线的距离为d，则，
，
，，
故由m的取值范围可得面积的取值范围为．
一、选择题
1.（2020·广东湛江高二期末）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】双曲线的渐进线方程为，故双曲线的渐近线方程为.
设双曲线的方程为.当时，双曲线的方程为，则，解得：；当时，双曲线的方程为，则，解得：；故选C
2．（2020·宁夏银川一中高二月考）若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．由题得，圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式．可得．解得，所以．故选B．
3．（2020·重庆八中月考）设双曲线的左顶点为，右焦点为，若圆与直线交于坐标原点及另一点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】如图所示，，设直线上点，，
则，即，得，将代入圆，得，即，故.故选：B.
4．（2020·湖南师大附中高二月考）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
． ，
，当且仅当时取等号，的最小值为6.
5．（多选题）（2020·江苏南通月考）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．的方程为B．的离心率为
C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点
【答案】AC
【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.故选AC
6. （多选题）（2020·湖北恩施高中高二月考）已知双曲线C：与直线交于A，B两点，点为C上任意一点，且直线，的斜率分别为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为D．双曲线的离心率为
【答案】AC
【解析】设点，，∴.又∵，两式相减得，∴.又∵，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；又∵，∴，故选项C正确，故选：AC.
二、填空题
7．（2020·湖南师大附中月考）过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去.
8.（2020·云南师大附中高二月考）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_________．
【答案】
【解析】由题意可得，渐近线方程为，
∴，，故．
9．（2020·湖北沙区·沙市中学期末）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【解析】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即，
，椭圆的离心率，双曲线的离心率.
10．（2020·河北石家庄一中高二月考）设，分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】取的中点，则∵，
∴，∴，∵是的中位线，∴，.
由双曲线的定义得，∵，∴，.
中，由勾股定理得，∴，∴.
三、解答题
11.（2020·全国高二课时练）已知双曲线 (a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
【解析】 (1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，
又F(c,0)，∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.
(2)∵PF的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴，∴b＝3.又e＝＝，
∴＝.∴a＝4.
故双曲线方程为－＝1.
12.（2020·全国高二课时练）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且，求面积的取值范围．
【解析】（1）∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率．
又∵直线经过椭圆的右顶点，令，则
∴右顶点的坐标为，即，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，．
联立消去y，整理得，
则，
于是．
又，
故，则．
由得，解得．
又由，
得，且．
设原点O到直线的距离为d，则，
，
，，
故由m的取值范围可得面积的取值范围为．
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