高中数学2.5.2 椭圆的几何性质精品课时练习

这是一份高中数学2.5.2 椭圆的几何性质精品课时练习，共6页。

一、选择题


1．（2020赣榆智贤中学月考）椭圆的离心率是（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】因为椭圆中，，所以，


得．


2.（2020福建泰宁一中月考）若椭圆的焦点是和，长轴长为10，则椭圆的方程是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】C


【解析】因为椭圆的焦点是和，所以，且焦点在x轴上，又长轴长为10，所以 所以椭圆的方程是.


3．（2020河北正定县弘文中学高二月考）椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）


A．2B．C．4D．


【答案】D


【解析】。


4. （2020·全国高二单元测试）若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为( )


A．B．C．D．1


【答案】B


【解析】设点，所以，由此可得


，，所以的最小值为.


5．（多选题）已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有( )


A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25


C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9


【答案】ABC


【解析】椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,


由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.


6．（多选题）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）





A．B．C．D．


【答案】BC





【解析】由题图可得，故A不正确；，故B正确；由得，即，即，故C正确，D不正确．故选：BC


二、填空题


7.（2020·四川阆中中学开学考试）椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为 .


【答案】


【解析】由题意可得，又，可得，整理可得，


所以.


8.（2020全国高二课时练）若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值为 .


【答案】4或-54


【解析】 (1)若焦点在x轴上,即k+8>9时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,解得k=4.


(2)若焦点在y轴上,即0

综上所述,k=4或k=-54.


9.（2020山东泰安高二期中）阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,则椭圆C的标准方程为 .


【答案】y21003+x212=1


【解析】设椭圆C的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),椭圆C的面积为S=πab=20π,


又e=1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,所以椭圆C的方程为y21003+x212=1.


10..已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是( )


【答案】0,32


【解析】设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.





∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.设M(0,b),则4b5≥45,∴1≤b<2.


离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=4-b24∈0,32.


三、解答题


11.（2020全国高二课时练）(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;


(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.


【解析】 (1)∵c=9-4=5,∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).


设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2-c2=20,


∴所求椭圆的方程为x225+y220=1.


(2)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),


∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.


∴椭圆的方程为x236+y220=1.


12.（2020山东菏泽三中高二期中）如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.





(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;


(2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.





【解析】 (1)由∠F1AB=90°及椭圆的对称性知b=c,则e=ca=c2a2=c2b2+c2=22.


(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),设B(x,y),


则AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),由AF2=2F2B,即(1,-b)=2(x-1,y),


解得x=32,y=-b2,则94a2+b24b2=1,


得a2=3,因此b2=2,椭圆的方程为x23+y22=1.