高中数学2.4 曲线与方程精品随堂练习题

这是一份高中数学2.4 曲线与方程精品随堂练习题，共5页。试卷主要包含了4 曲线与方程 -A基础练等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．（2020·全国高二课时练习）方程表示的曲线是（ ）


A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．一个半圆


【答案】D


【解析】由方程知，将方程两边平方得，即，，


故该方程表示的曲线是圆大的一部分，即一个半圆.故选：D.


2．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的( )


A．1个B．2个C．3个D．4个


【答案】C


【解析】把四点为坐标代入方程，其中三点坐标适合方程，这三点在方程表示的曲线上，点不在，故选C．


3．（2020·山东泰安高二期末）与点和点连线的斜率之和为的动点P的轨迹方程是（ ）


A．B．


C．D．


【答案】B


【解析】设动点，，，整理得.


4．（2020·山东菏泽高二月考）“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的（ ）


A．充分不必要条件B．必要不充分条件


C．充要条件D．既不充分也不必要条件


【答案】B


【解析】若点M在曲线上，则；当点M的坐标满足方程时，必有，即点M在曲线上，故“点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的必要不充分条件．故选：B．


5．（多选题）（2020·上海高二课时练习）已知“曲线上的点的坐标都满足方程”是正确的，则下列命题错误的是（ ）.


A.不是曲线上的点的坐标，一定不满足方程；


B.坐标满足方程的点均在曲线上；


C.曲线是方程的曲线；


D.方程的曲线不一定是曲线.


【答案】ABC


【解析】因为“曲线上的点的坐标都满足方程”是正确的，所以不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，即：坐标满足方程的点不一定在曲线上，方程的曲线也不一定是曲线.从而得到ABC不正确，D正确.


6．（多选题）（2020·全国课时练习）在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（ ）


A．曲线经过坐标原点B．曲线关于轴对称


C．曲线关于轴对称D．若点在曲线上，则


【答案】BCD


【解析】设，由已知，，即，平方得，不满足方程，故选项A错误；用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故B正确；同理用用换，方程不变，所以曲线，关于轴对称，故C正确；令，得，即，所以，故，D正确.故选：BCD.


二、填空题


7.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的点,则m= .


【答案】12


【解析】根据点A既在曲线y=mx2上,也在直线x-y=0上,则2=ma2,a-2=0,∴a=2,m=12.


8．（2020·上海高二课时练习）直线与曲线（，且）的公共点有 个．


【答案】4


【解析】将直线代入曲线中得


，故有4个.


9.（2020·全国高二课时练习）以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数的动点M的轨迹，若已知，，动点M满足，此时阿波罗尼斯圆的方程为______．


【答案】


【解析】设，由于，根据两点间的距离公式得，


整理得.


10.（2020·全国）已知方程①；②；③；④，其中能表示直角坐标系的第一､三象限的角平分线C的方程的序号是________.


【答案】①


【解析】由得，故①是正确的；点在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程，故②不正确，点满足方程，但它不在曲线C上，故③不正确；点在曲线C上，但其坐标不满足方程，故④不正确，故答案为：①.


三、解答题


11．（2020·扬州市江都区高二期中）圆C过点，，且圆心在直线上.


（1）求圆C的方程；


（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.


【解析】（1）直线的斜率，


所以的垂直平分线m的斜率为1.


的中点的横坐标和纵坐标分别为，.


因此，直线m的方程为.即.


又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组


，解得


所以圆心坐标为，又半径，


则所求圆的方程是.


（2）设线段的中点，


M为线段的中点，则，解得


代入圆C中得，


即线段中点M的轨迹方程为.


12.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.


【解析】如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}(λ>0).





因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.设点M的坐标为(x,y),则λ2[(x-2)2+y2]=x2+y2-1,


整理,得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0,当λ=1时,方程化为x=54,它表示一条直线;


当λ≠1时,方程化为x-2λ2λ2-12+y2=1+3λ2(λ2-1)2,它表示圆心为2λ2λ2-1,0,半径为1+3λ2|λ2-1|的圆.