专题二 两直线的位置关系（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题二 两直线的位置关系（专题训练）

一、单选题

1．从集合中任取三个不同的元素作为直线中的值，若直线倾斜角小于，且在轴上的截距小于，那么不同的直线条数有(    )

A．109条 B．110条 C．111条 D．120条

【答案】A

【解析】，在轴上的截距为，由题意可知：

，共有种方法，考虑到直线之间的重合情况，

当时，（3，2，1）与（6，4，2）、（9，6，3）重复二次；

（4，2，1）与（8，4，2）重复一次；

（5，2，1）与（10，4，2）重复一次；

（4，3，1）与（8，6，2）重复一次；

（5，3，1）与（10，6，2）重复一次；

（5，4，1）与（10，8，2）重复一次；共有7次．

当时，（4，3，2）与（8，6，4）重复一次；

（5，3，2）与（10，6，4）重复一次；    

（5，4，2）与（10，8，4）重复一次；共有3次．

当时，（5，4，3）与（10，8，6）重复一次，共有1次．

所以不同的直线条数有120-7-3-1=109条，故本题选A．

2．下列各组中的两条直线平行的有几组？（ ）

(1)

(2)

(3)

A．0组 B．1组 C．2组 D．3组

【答案】B

【解析】 (1)因为，这两条直线相交．

因为，这两条直线重合．

(3)因为，这两条直线平行．故选B．

3．若直线和直线平行，则（    ）

A．-2 B．-2或3 C．3 D．不存在

【答案】C

【解析】∵直线和直线平行，

∴，解得：

经检验：两直线重合，两直线平行，故选：C

4．（2015秋•甘南州校级期末）已知两点A（﹣1，0），B（2，1），直线l过点P（0，﹣1）且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（  ）

A．[﹣1，1]   

B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）   

C．[﹣1，0）∪（0，1]   

D．[﹣1，0）∪[1，+∞）

【答案】B

【解析】如图，

∵KAP=﹣1，KBP=1，

∴过P（0，﹣1）的直线l与线段AB始终有公共点时，

直线l的斜率k的取值范围是k≤﹣1或k≥1．

故选：B．

5．如右图所示，直线的斜率分别为则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可知，，所以，故选C．

 6．若直线：与直线：垂直，则实数( ).

A． B． C．2 D．或2

【答案】A

【解析】直线：与直线：垂直，则，.

考点：直线与直线垂直的判定.

7．已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故，所以，

故点到直线的距离为，故选C.

8．已知直线y=x+3k-2与y=-x+1的交点在第一象限，则k的取值范围是(　　)

A． B．

C．(0，1) D．

【答案】A

【解析】由方程组，解得，

所以直线与直线的交点坐标为，

要使交点在第一象限，则，解得，

所以的取值范围是，故选A.

9．若，且直线交轴于，直线交轴于，则线段中点的轨迹方程是（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，点是的斜边的中点，又是的斜边的中点，所以，设，则，化简得，故选C.

10．直线L将圆平分，且与直线平行，则直线L的方程是

A．   

B．  

C．   

D．

【答案】C

【解析】圆的圆心坐标，直线L将圆平分，所以直线L过圆的圆心，又因为与直线平行，所以可设直线L的方程为，将代入可得所以直线L的方程为即，所以选C．

11．直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线的斜率为1

所以倾斜角为，选B

二、填空题

12．已知圆过点，，，则圆的圆心到直线：的距离为__________．

【答案】

【解析】由图可知为直角,圆心在的中点,为,故圆心到直线的距离为.

13．若双曲线方程为，则其两条渐近线的夹角为______．

【答案】

【解析】由双曲线方程为，得，

其渐近线为，

设渐近线的夹角为，则，

则.

故答案为：

14．过点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】由题得，它表示单位圆的上半部分（包含两个端点），曲线如图所示，

由题得

设直线AB的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,

因为直线AB和圆相切，所以，

所以直线l的斜率范围为

故答案为：

15．已知△ABC中，A(0，3),B(2，1),P、Q分别为AC、BC的中点，则直线PQ的斜率为_________.

【答案】

【解析】：∵P、Q分别为AC、BC的中点，
∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴ 故答案为：-1．

三、解答题

16．（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；

（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等（截距不为0）的直线l的方程．

【答案】（1）2； （2）x+4y=0或x+y-3=0

【解析】（1）由题意知直线l的斜率为，设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，

则x-2y+4=0，

令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，

∴A（-4，0），B（0，2），

则|AB|==2；

（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，

当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．

17．已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点.求

（1）过点且与平行的直线方程；

（2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）

∴

∴

∴

（2）

∴，

当斜率不存在，则方程为，不合题意

当斜率存在，设方程,

而,

∴,

∴,

，

∴或，

∴方程为或.

18．过椭圆的右焦点作轴的垂线，与椭圆在第一象限内交于点，过作直线的垂线，垂足为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为圆上任意一点，过点作椭圆的两条切线，设分别交圆于点，证明：为圆的直径．

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）由题知，∴，

∴椭圆的方程为；

（2）设，当切线的斜率均存在时，分别设为，

设过点的切线方程为，

与的方程联立得，

则，

即，整理得，

∴，即，

当或的斜率不存在时，必是或，又，∴，此时一条切线与轴垂直，一条切线与轴平行，仍有即，

综上，对任意点为圆的直径．

19．已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求中线的长.

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）直线的斜率为，

直线的方程为，即.

（2）设的坐标为

则由中点坐标公式得，故.

∴.

20．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.

（1）当直线经过圆心时，求直线的方程；

（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题意得，圆的圆心为，

因为直线过点，所以直线的斜率为2，

直线的方程为，即直线的方程.

（2）当弦被点平分时，，此时直线的斜率为，

所以直线的方程为，即直线的方程.

21．已知的三个顶点分别为,,．

（1）求边上的中线所在直线的一般式方程．

（2）求的面积．

【答案】（1）;（2）7

【解析】（1）因为,．

则边上的中点：.

可得中线所在直线的一般式方程：

．

化简得：．

故边上的中线所在直线的一般式方程为.

（2）,

直线的方程为：,

化为：．

点到直线的距离．

∴的面积.