专题二 两直线的位置关系（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题二  两直线的位置关系

★★★★必备知识★★★★

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直：

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．

3．三种距离公式

(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|＝.

(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.

(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离：d＝ .

★★★★常用结论★★★★

1．过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，还可以表示为y－y0＝k(x－x0)和x＝x0.

2．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

3．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.

4．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.

5．点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．

6．点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．

7．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．

8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．

9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．

★★★★基础达标★★★★

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)

(2)如果直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)

(3)若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)

(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)

(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、选填题

1．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　解方程组得

所以两直线的交点为.

2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)

A．－3 B.－

C．2 D．3

解析：选D　直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因为两直线垂直，所以－×＝－1，解得a＝3.

3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)

A．1 B.

C.  D．2

解析：选B　由题意可知l1与l2平行，故l1与l2之间的距离d＝＝，故选B.

4．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.

解析：由题意得，＝1，

∴|a＋1|＝，∵a＞0，∴a＝－1.

答案：－1

5．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．

答案：

解析：由题意可得两点间的距离d＝＝ ≥，即最小值为.

★★★★典型例题★★★★

[典例精析]

(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)

A．1或3　　　　　　　　 B．1或5

C．3或5 D．1或2

(2)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)，若△OAB为直角三角形，则必有(　　)

A．b＝a3 B.(b－a3)＝0

C．b＝a3＋ D．|b－a3|＋＝0

(2)若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0.若∠B＝，根据垂直关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有B满足条件．

(3)因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以，则0＜＜，故的取值范围为.

[答案]　(1)C　(2)B　(3)

[解题技法]

1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法

(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；

(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.

[提醒]　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．

2．由一般式确定两直线位置关系的方法

[提醒]　在判断两直线的位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择题、填空题时，建议多用比例式来解答．

[典例精析]

(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．

(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．

 [解析]　(1)由方程组解得

∴交点坐标为.

又∵交点位于第一象限，∴

解得－＜k＜.

(2) 因为＝≠，所以两直线平行，

将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，

即＝，所以|PQ|的最小值为.

[答案]　(1)　(2)

[解题技法]

距离问题的常见题型及解题策略

(1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．

(2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．

(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．

[考法全析]

考法(一)　点关于点的对称

[例1]　过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．

[解析]　设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，

则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，

解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，

所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.

[答案]　x＋4y－4＝0

点关于点对称的求解方法

若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．　　　　

考法(二)　点关于线的对称

[例2]　在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．1

C. D.

[解析]　以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0＜t＜4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4,4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有＝，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝，因为0＜t＜4，所以t＝，即|AP|＝，故选D.

[答案]　D

点关于直线对称的解题方法

若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．　　　　

考法(三)　线关于点的对称

[例3]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．

[解析]　在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B′(－3，－5)，C′(－12，－11)，所以直线m的方程为，即2x－3y－9＝0.

[答案]　2x－3y－9＝0

1．线关于点对称的求解方法

(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；

(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

2．线关于点对称的实质

“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．